Exercício 4. Seja f uma função que
x 0 1 / 6 1 / 3 1 / 2 2 / 3 5 / 6 1
f(x) 1 4 1 -1 2 4 0
.
(i) Aproxime f(5 / 12) usando interpolação quadrática.
(ii) Supondo que \left|f^{\prime \prime \prime}(x)\right| \leq 10 em 0 \leq x \leq 1, determine uma cota superior para o erro cometido em (i).

Passo 1

O enunciado dá uma tabela com valores de f nos pontos
\begin{array}{c|ccccccc} x & 0 & 1/6 & 1/3 & 1/2 & 2/3 & 5/6 & 1\\hline f(x) & 1 & 4 & 1 & -1 & 2 & 4 & 0 \end{array}
e pede duas coisas:
(i) aproximar f(5/12) usando interpolação quadrática;
(ii) supondo que \left|f^{\prime\prime\prime}(x)\right|\le 10 em 0\le x\le1, determinar uma cota superior para o erro da aproximação em (i).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Valores conhecidos: f(1/3)=1, f(1/2)=-1, f(2/3)=2 (peguei esses valores da tabela).
  • Ponto onde queremos aproximar: x=5/12.
  • Constante para a cota do erro: \max_{[0,1]}|f^{(3)}|\le 10.

Passo 2

Escolha dos nós para interpolação quadrática (três nós):
Para aproximar f(5/12) convém usar três nós próximos a 5/12. Os nós consecutivos x_0=1/3, x_1=1/2, x_2=2/3 são adequados porque 5/12 está entre 1/3 e 1/2 e esses nós estão próximos. Anotei os valores correspondentes (da tabela):
f(x_0)=f(1/3)=1,\quad f(x_1)=f(1/2)=-1,\quad f(x_2)=f(2/3)=2.

Passo 3

Apresentação do método (Lagrange) e fórmula do polinômio interpolador quadrático:
A forma Lagrange do polinômio interpolador de grau \le 2 nos nós x_0,x_1,x_2 é
p(x)=\sum_{j=0}^{2} f(x_j)\, \ell_j(x),
onde as bases de Lagrange são
\ell_j(x)=\prod_{\substack{m=0\\\ m\ne j}}^{2}\frac{x-x_m}{x_j-x_m}.
Explicando: \ell_j(x) é um polinômio de grau 2 que vale 1 em x=x_j e 0 em x=x_m para m\ne j. Multiplicando cada \ell_j por f(x_j) e somando obtemos o polinômio que passa pelos três pontos dados.

Passo 4

Cálculo explícito das bases \ell_j(x) com x_0=1/3, x_1=1/2, x_2=2/3:
Primeiro calcule diferenças úteis (usar denominadores em frações para evitar arredondamento):
x_0-x_1=\frac{1}{3}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{6},\qquad x_0-x_2=\frac{1}{3}-\frac{2}{3}=-\frac{1}{3},
x_1-x_0=\frac{1}{6},\qquad x_1-x_2=\frac{1}{2}-\frac{2}{3}=-\frac{1}{6},
x_2-x_0=\frac{1}{3},\qquad x_2-x_1=\frac{1}{6}.
Agora cada \ell_j:
Para j=0:
\ell_0(x)=\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)} =\frac{(x-\tfrac{1}{2})(x-\tfrac{2}{3})}{(-\tfrac{1}{6})(-\tfrac{1}{3})} =18\,(x-\tfrac{1}{2})(x-\tfrac{2}{3}).
Para j=1:
\ell_1(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)} =\frac{(x-\tfrac{1}{3})(x-\tfrac{2}{3})}{(\tfrac{1}{6})(-\tfrac{1}{6})} =-36\,(x-\tfrac{1}{3})(x-\tfrac{2}{3}).
Para j=2:
\ell_2(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)} =\frac{(x-\tfrac{1}{3})(x-\tfrac{1}{2})}{(\tfrac{1}{3})(\tfrac{1}{6})} =18\,(x-\tfrac{1}{3})(x-\tfrac{1}{2}).

Passo 5

Avaliação do polinômio interpolador em x=5/12:
Primeiro escreva x=5/12 e calcule as diferenças:
x-\tfrac{1}{3}=\tfrac{5}{12}-\tfrac{4}{12}=\tfrac{1}{12},\qquad x-\tfrac{1}{2}=\tfrac{5}{12}-\tfrac{6}{12}=-\tfrac{1}{12},
x-\tfrac{2}{3}=\tfrac{5}{12}-\tfrac{8}{12}=-\tfrac{3}{12}=-\tfrac{1}{4}.
Agora calcule \ell_j(5/12):
\ell_0(5/12)=18\cdot\big(-\tfrac{1}{12}\big)\cdot\big(-\tfrac{1}{4}\big) =18\cdot\tfrac{1}{48}=\tfrac{18}{48}=\tfrac{3}{8}.
\ell_1(5/12)=-36\cdot\big(\tfrac{1}{12}\big)\cdot\big(-\tfrac{1}{4}\big) =-36\cdot\big(-\tfrac{1}{48}\big)=\tfrac{36}{48}=\tfrac{3}{4}.
\ell_2(5/12)=18\cdot\big(\tfrac{1}{12}\big)\cdot\big(-\tfrac{1}{12}\big) =18\cdot\big(-\tfrac{1}{144}\big)=-\tfrac{18}{144}=-\tfrac{1}{8}.
Verificação rápida (soma das bases = 1):
\tfrac{3}{8}+\tfrac{3}{4}-\tfrac{1}{8}=\tfrac{3+6-1}{8}=\tfrac{8}{8}=1.
Agora o polinômio interpolador em x:
p(5/12)=f(x_0)\ell_0(5/12)+f(x_1)\ell_1(5/12)+f(x_2)\ell_2(5/12).
Substituindo valores f(x_0)=1, f(x_1)=-1, f(x_2)=2:
p(5/12)=1\cdot\tfrac{3}{8}+(-1)\cdot\tfrac{3}{4}+2\cdot\big(-\tfrac{1}{8}\big).
Calcule em frações:
p(5/12)=\tfrac{3}{8}-\tfrac{3}{4}-\tfrac{2}{8}=\tfrac{3}{8}-\tfrac{6}{8}-\tfrac{2}{8}=\tfrac{3-6-2}{8}=-\tfrac{5}{8}.
Portanto a aproximação obtida é p(5/12)=-\tfrac{5}{8}=-0{,}625.

Passo 6

Derivação e cálculo da cota do erro (explicação didática):
Para interpolação polinomial de grau n (aqui n=2) existe a fórmula do resto (fórmula de Hermite/Lagrange do erro): para algum \xi no intervalo que contém os nós e o ponto x,
f(x)-p(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\prod_{j=0}^{n}(x-x_j).
No nosso caso n=2, logo
f(5/12)-p(5/12)=\frac{f^{(3)}(\xi)}{3!}\,(5/12-x_0)(5/12-x_1)(5/12-x_2)
para algum \xi\in[0,1]. Tomando valor absoluto e usando a hipótese \left|f^{(3)}(x)\right|\le 10, obtemos
\big|f(5/12)-p(5/12)\big|\le \frac{10}{3!}\,\big|(5/12-x_0)(5/12-x_1)(5/12-x_2)\big|.
Computei o produto das diferenças no Passo 5; usando os valores:
5/12-x_0=\tfrac{1}{12},\quad 5/12-x_1=-\tfrac{1}{12},\quad 5/12-x_2=-\tfrac{1}{4}.
O produto em valor absoluto é
\big|\tfrac{1}{12}\cdot\big(-\tfrac{1}{12}\big)\cdot\big(-\tfrac{1}{4}\big)\big|=\frac{1}{12\cdot12\cdot4}=\frac{1}{576}.
Portanto
\big|f(5/12)-p(5/12)\big|\le \frac{10}{6}\cdot\frac{1}{576}=\frac{5}{3}\cdot\frac{1}{576}=\frac{5}{1728}.
Em forma decimal aproximada isso é \dfrac{5}{1728}\approx 0{,}0028935.

Resposta

f(5/12)\approx -\dfrac{5}{8}.\n \displaystyle |f(5/12)-\text{aprox}|\le \dfrac{5}{1728}\approx 0{,}0028935.

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