(i) Aproxime f(5 / 12) usando interpolação quadrática.
(ii) Supondo que \left|f^{\prime \prime \prime}(x)\right| \leq 10 em 0 \leq x \leq 1, determine uma cota superior para o erro cometido em (i).
Passo 1
O enunciado dá uma tabela com valores de f nos pontos
e pede duas coisas:
(i) aproximar f(5/12) usando interpolação quadrática;
(ii) supondo que \left|f^{\prime\prime\prime}(x)\right|\le 10 em 0\le x\le1, determinar uma cota superior para o erro da aproximação em (i).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Valores conhecidos: f(1/3)=1, f(1/2)=-1, f(2/3)=2 (peguei esses valores da tabela).
Ponto onde queremos aproximar: x=5/12.
Constante para a cota do erro: \max_{[0,1]}|f^{(3)}|\le 10.
Passo 2
Escolha dos nós para interpolação quadrática (três nós):
Para aproximar f(5/12) convém usar três nós próximos a 5/12. Os nós consecutivos x_0=1/3, x_1=1/2, x_2=2/3 são adequados porque 5/12 está entre 1/3 e 1/2 e esses nós estão próximos. Anotei os valores correspondentes (da tabela):
Apresentação do método (Lagrange) e fórmula do polinômio interpolador quadrático:
A forma Lagrange do polinômio interpolador de grau \le 2 nos nós x_0,x_1,x_2 é
Explicando: \ell_j(x) é um polinômio de grau 2 que vale 1 em x=x_j e 0 em x=x_m para m\ne j. Multiplicando cada \ell_j por f(x_j) e somando obtemos o polinômio que passa pelos três pontos dados.
Passo 4
Cálculo explícito das bases \ell_j(x) com x_0=1/3, x_1=1/2, x_2=2/3:
Primeiro calcule diferenças úteis (usar denominadores em frações para evitar arredondamento):
Portanto a aproximação obtida é p(5/12)=-\tfrac{5}{8}=-0{,}625.
Passo 6
Derivação e cálculo da cota do erro (explicação didática):
Para interpolação polinomial de grau n (aqui n=2) existe a fórmula do resto (fórmula de Hermite/Lagrange do erro): para algum \xi no intervalo que contém os nós e o ponto x,