Calcule aproximadamente
por interpolação cúbica e estime o erro cometido. De uma função
sabemos que
0
0,2
0,4
0,67
0,82
1
1,22
1,49
.
|
|
|
|
0 | 0,2 | 0,4 |
|
|
0,67 | 0,82 | 1 | 1,22 | 1,49 |
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Calcular aproximadamente
por interpolação cúbica. - Estimar o erro cometido nessa aproximação.
Informações que o enunciado fornece (peguei estes valores da tabela dada):
- Pontos e valores:
-
Observação útil para organizar o trabalho: para interpolação cúbica é preciso usar quatro pontos. Como
está entre
e
e os quatro pontos mais próximos são
, vou usar esses quatro pontos para construir o polinômio interpolador cúbico e avaliar em
.
Passo 2
Breve aula sobre o método que vou usar (Newton por diferenças divididas, muito prático para construir o polinômio a partir de valores):
- O polinômio interpolador de grau
nas abscissas pode ser escrito na forma de Newton:
onde
são diferenças divididas.
- Diferença dividida de primeira ordem:
- Diferença dividida de ordem superior é obtida recursivamente:
e assim por diante.
- Resto (erro) da interpolação de grau
numa função é
para algum
no intervalo que contém os nós e
.
Passo 3
Escolha dos pontos e cálculo das diferenças divididas (usei os valores da tabela para calcular cada diferença):
- Vou numerar os pontos escolhidos:
-
Calculando diferenças divididas de 1ª ordem:
Diferenças divididas de 2ª ordem:
Diferença dividida de 3ª ordem:
Passo 4
Construção do polinômio de Newton (colocando os coeficientes que calculamos):
Explicando: cada termo usa
conforme a fórmula de Newton; por exemplo
.
Passo 5
Avaliação de
em
(faça como na prova: calcule termo a termo, sem pular contas):
- Calcule os fatores:
- Agora cada termo:
- Somando:
Passo 6
Estimativa do erro (aula rápida e uso dos dados para concluir o tamanho do erro):
- Em princípio o resto é
para algum . - Uma maneira prática de estimar se há erro é verificar a diferença dividida de ordem
usando os cinco pontos dados. Se a diferença dividida de ordem for zero, isso significa que todos os cinco pontos estão exatamente em um polinômio de grau , ou seja, na forma teórica, e então o interpolador cúbico coincide com (erro zero). - Vou calcular rapidamente as diferenças divididas usando TODOS os cinco pontos (peguei novamente os valores da tabela):
- Primeiras diferenças entre pontos consecutivos (passo
): - Segundas diferenças:
- Terceiras diferenças:
- A terceira diferença é constante (ambas iguais a
), logo a quarta diferença é zero.
- Primeiras diferenças entre pontos consecutivos (passo
- Em termos de diferenças divididas isso significa que a diferença dividida de ordem
é exatamente zero. Portanto os cinco pontos pertencem a um polinômio de grau no máximo . - Consequência imediata: o interpolador cúbico construído a partir de quatro desses pontos reproduz exatamente a função nos outros pontos também; em particular o erro em
é exatamente zero (a função, pelos dados, coincide com um polinômio de grau até 3).
Resposta
Erro estimado: