Calcule aproximadamente f(0,25) por interpolação cúbica e estime o erro cometido. De uma função f sabemos que
x -0,4 -0,2 0 0,2 0,4
f(x) 0,67 0,82 1 1,22 1,49
.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular aproximadamente f(0,25) por interpolação cúbica.
  • Estimar o erro cometido nessa aproximação.
Informações que o enunciado fornece (peguei estes valores da tabela dada):
  • Pontos e valores:
    • x=-0,4,\; f(x)=0,67
    • x=-0,2,\; f(x)=0,82
    • x=0,\; f(x)=1
    • x=0,2,\; f(x)=1,22
    • x=0,4,\; f(x)=1,49
Observação útil para organizar o trabalho: para interpolação cúbica é preciso usar quatro pontos. Como 0,25 está entre 0,2 e 0,4 e os quatro pontos mais próximos são x=-0,2,\;0,\;0,2,\;0,4, vou usar esses quatro pontos para construir o polinômio interpolador cúbico e avaliar em x=0,25.

Passo 2

Breve aula sobre o método que vou usar (Newton por diferenças divididas, muito prático para construir o polinômio a partir de valores):
  • O polinômio interpolador de grau 3 nas abscissas x_0,x_1,x_2,x_3 pode ser escrito na forma de Newton:
P_3(x)=f[x_0]+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)+f[x_0,x_1,x_2,x_3](x-x_0)(x-x_1)(x-x_2),
onde f[\,\cdot\,] são diferenças divididas.
  • Diferença dividida de primeira ordem:
f[x_i,x_{i+1}]=\frac{f(x_{i+1})-f(x_i)}{x_{i+1}-x_i}.
  • Diferença dividida de ordem superior é obtida recursivamente:
f[x_i,x_{i+1},x_{i+2}]=\frac{f[x_{i+1},x_{i+2}]-f[x_i,x_{i+1}]}{x_{i+2}-x_i},
e assim por diante.
  • Resto (erro) da interpolação de grau 3 numa função f\in C^4 é
R_3(x)=\frac{f^{(4)}(\xi)}{4!}\prod_{i=0}^3 (x-x_i)
para algum \xi no intervalo que contém os nós e x.

Passo 3

Escolha dos pontos e cálculo das diferenças divididas (usei os valores da tabela para calcular cada diferença):
  • Vou numerar os pontos escolhidos:
    • x_0=-0,2,\; f(x_0)=0,82
    • x_1=0,\; f(x_1)=1
    • x_2=0,2,\; f(x_2)=1,22
    • x_3=0,4,\; f(x_3)=1,49
Calculando diferenças divididas de 1ª ordem:
f[x_0,x_1]=\frac{1-0,82}{0-(-0,2)}=\frac{0,18}{0,2}=0,9.
f[x_1,x_2]=\frac{1,22-1}{0,2-0}=\frac{0,22}{0,2}=1,1.
f[x_2,x_3]=\frac{1,49-1,22}{0,4-0,2}=\frac{0,27}{0,2}=1,35.
Diferenças divididas de 2ª ordem:
f[x_0,x_1,x_2]=\frac{1,1-0,9}{0,2-(-0,2)}=\frac{0,2}{0,4}=0,5.
f[x_1,x_2,x_3]=\frac{1,35-1,1}{0,4-0}=\frac{0,25}{0,4}=0,625.
Diferença dividida de 3ª ordem:
f[x_0,x_1,x_2,x_3]=\frac{0,625-0,5}{0,4-(-0,2)}=\frac{0,125}{0,6}\approx 0,2083333333.

Passo 4

Construção do polinômio de Newton (colocando os coeficientes que calculamos):
P_3(x)=0,82+0,9(x+0,2)+0,5(x+0,2)(x-0)+0,2083333333(x+0,2)(x-0)(x-0,2).
Explicando: cada termo usa x-x_i conforme a fórmula de Newton; por exemplo x-x_0=x-(-0,2)=x+0,2.

Passo 5

Avaliação de P_3 em x=0,25 (faça como na prova: calcule termo a termo, sem pular contas):
  • Calcule os fatores:
x-x_0=0,25-(-0,2)=0,45,
x-x_1=0,25-0=0,25,
x-x_2=0,25-0,2=0,05.
  • Agora cada termo:
\text{Termo}_0=0,82.
\text{Termo}_1=0,9\cdot 0,45=0,405.
\text{Termo}_2=0,5\cdot(0,45\cdot 0,25)=0,5\cdot 0,1125=0,05625.
\text{Termo}_3\approx 0,2083333333\cdot(0,45\cdot0,25\cdot0,05) =0,2083333333\cdot 0,005625\approx 0,001171875.
  • Somando:
P_3(0,25)=0,82+0,405+0,05625+0,001171875\approx 1,282421875.

Passo 6

Estimativa do erro (aula rápida e uso dos dados para concluir o tamanho do erro):
  • Em princípio o resto é \displaystyle R_3(0,25)=\frac{f^{(4)}(\xi)}{4!}\prod_{i=0}^3(0,25-x_i) para algum \xi.
  • Uma maneira prática de estimar se há erro é verificar a diferença dividida de ordem 4 usando os cinco pontos dados. Se a diferença dividida de ordem 4 for zero, isso significa que todos os cinco pontos estão exatamente em um polinômio de grau \le 3, ou seja, f^{(4)}\equiv 0 na forma teórica, e então o interpolador cúbico coincide com f (erro zero).
  • Vou calcular rapidamente as diferenças divididas usando TODOS os cinco pontos (peguei novamente os valores da tabela):
    • Primeiras diferenças entre pontos consecutivos (passo h=0,2): \Delta f: 0,15,\;0,18,\;0,22,\;0,27
    • Segundas diferenças: \Delta^2 f: 0,03,\;0,04,\;0,05
    • Terceiras diferenças: \Delta^3 f: 0,01,\;0,01
    • A terceira diferença é constante (ambas iguais a 0,01), logo a quarta diferença é zero.
  • Em termos de diferenças divididas isso significa que a diferença dividida de ordem 4 é exatamente zero. Portanto os cinco pontos pertencem a um polinômio de grau no máximo 3.
  • Consequência imediata: o interpolador cúbico construído a partir de quatro desses pontos reproduz exatamente a função nos outros pontos também; em particular o erro em x=0,25 é exatamente zero (a função, pelos dados, coincide com um polinômio de grau até 3).

Resposta

f(0,25)\approx 1,282421875
Erro estimado: 0

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