Exercício 5. Suponha que se queira construir uma tabela para a função
no intervalo
de tal maneira que, ao ser aplicada nessa tabela, a interpolação linear forneça resultados com seis casas decimais corretas. Determine o passo
dessa tabela.
Passo 1
O enunciado nos dá:
- A função é
. - O intervalo é
. - Quer-se construir uma tabela com passo
(passo uniforme) de modo que, ao usar interpolação linear entre nós adjacentes, o valor aproximado de tenha seis casas decimais corretas.
O que é pedido:
- Determinar o maior passo
que garante erro suficientemente pequeno para assegurar seis casas decimais corretas.
Passo 2
O que significa “seis casas decimais corretas” em termos de erro absoluto?
Seis casas decimais corretas significa que o erro absoluto deve ser menor ou igual a meia unidade na sexta casa decimal, isto é, menor ou igual a . Em notação:
Seis casas decimais corretas significa que o erro absoluto deve ser menor ou igual a meia unidade na sexta casa decimal, isto é, menor ou igual a
Essa escolha é padrão: por exemplo, se o valor exato é
e a aproximação tem seis casas decimais corretas, a diferença absoluta deve ser
.
Passo 3
Vamos aprender a estimar o erro da interpolação linear e depois aplicar ao caso de
.
Teorema (restante da interpolação linear). Seja
duas vezes continuamente diferenciável em
. Se
é o polinômio de interpolação linear em dois nós vizinhos
e
separados por
, então para cada
existe
tal que
Explicando: o erro é proporcional à segunda derivada em algum ponto
do subintervalo e ao produto
.
Para transformar isso numa cota fácil de usar, tomamos o máximo
de
no subintervalo (ou em todo o intervalo, para uma cota global). Assim
O produto
atinge seu máximo no ponto médio do subintervalo, isto é, para
, e esse máximo vale
. Portanto obtemos a cota clássica:
Resumo didático: a cota de erro máximo por subintervalo para interpolação linear é
onde
. Se quisermos uma cota válida para todo o intervalo
, podemos tomar
.
Passo 4
Agora aplicamos isso a
. Calculemos as derivadas:
Então
No intervalo
a função
é decrescente, logo seu máximo ocorre em
. Portanto podemos tomar
Substituindo a cota de erro com
e exigindo que o erro máximo seja
, obtemos
Passo 5
Resolvendo a desigualdade para
:
portanto
Isto significa que se escolhermos
(ou qualquer valor menor), a interpolação linear entre nós adjacentes garante erro absoluto
, ou seja, seis casas decimais corretas.
Observação prática: o intervalo
tem comprimento
. Com
o número de subintervalos necessários é
(portanto
pontos na tabela). Se quiser economizar memória, poderia tentar métodos mais avançados, mas para interpolação linear uniforme esse é o passo exigido.