Exercício 5. Suponha que se queira construir uma tabela para a função y=\ln (x) no intervalo [1,10] de tal maneira que, ao ser aplicada nessa tabela, a interpolação linear forneça resultados com seis casas decimais corretas. Determine o passo h dessa tabela.

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • A função é y=\ln(x).
  • O intervalo é [1,10].
  • Quer-se construir uma tabela com passo h (passo uniforme) de modo que, ao usar interpolação linear entre nós adjacentes, o valor aproximado de \ln(x) tenha seis casas decimais corretas.
O que é pedido:
  • Determinar o maior passo h que garante erro suficientemente pequeno para assegurar seis casas decimais corretas.

Passo 2

O que significa “seis casas decimais corretas” em termos de erro absoluto?
Seis casas decimais corretas significa que o erro absoluto deve ser menor ou igual a meia unidade na sexta casa decimal, isto é, menor ou igual a 0,5\times10^{-6}. Em notação:
\text{tolerância } \varepsilon = 0,5\times10^{-6} = 5\times10^{-7}.â
Essa escolha é padrão: por exemplo, se o valor exato é 1{,}2345678 e a aproximação tem seis casas decimais corretas, a diferença absoluta deve ser \le 5\times10^{-7}.

Passo 3

Vamos aprender a estimar o erro da interpolação linear e depois aplicar ao caso de \ln(x).
Teorema (restante da interpolação linear). Seja f duas vezes continuamente diferenciável em [a,b]. Se L(x) é o polinômio de interpolação linear em dois nós vizinhos x_i e x_{i+1} separados por h=x_{i+1}-x_i, então para cada x\in[x_i,x_{i+1}] existe \xi\in(x_i,x_{i+1}) tal que
f(x)-L(x)=\frac{f''(\xi)}{2}\,(x-x_i)(x-x_{i+1}).
Explicando: o erro é proporcional à segunda derivada em algum ponto \xi do subintervalo e ao produto (x-x_i)(x-x_{i+1}).
Para transformar isso numa cota fácil de usar, tomamos o máximo M de |f''(x)| no subintervalo (ou em todo o intervalo, para uma cota global). Assim
|f(x)-L(x)| \le \frac{M}{2}\,| (x-x_i)(x-x_{i+1}) |.
O produto |(x-x_i)(x-x_{i+1})| atinge seu máximo no ponto médio do subintervalo, isto é, para x=\dfrac{x_i+x_{i+1}}{2}, e esse máximo vale \dfrac{h^2}{4}. Portanto obtemos a cota clássica:
\max_{x\in[x_i,x_{i+1}]} |f(x)-L(x)| \le \frac{M}{2}\cdot\frac{h^2}{4} = \frac{M\,h^2}{8}.
Resumo didático: a cota de erro máximo por subintervalo para interpolação linear é
\boxed{|E|_{\max}\le \dfrac{M\,h^2}{8}},
onde M=\max_{[\,\text{subintervalo}\,]}|f''(x)|. Se quisermos uma cota válida para todo o intervalo [1,10], podemos tomar M=\max_{x\in[1,10]}|f''(x)|.

Passo 4

Agora aplicamos isso a f(x)=\ln(x). Calculemos as derivadas:
f'(x)=\frac{1}{x},\qquad f''(x)=-\frac{1}{x^2}.
Então
|f''(x)|=\frac{1}{x^2}.
No intervalo [1,10] a função 1/x^2 é decrescente, logo seu máximo ocorre em x=1. Portanto podemos tomar
M=\max_{x\in[1,10]}|f''(x)|=\frac{1}{1^2}=1.
Substituindo a cota de erro com M=1 e exigindo que o erro máximo seja \le\varepsilon=5\times10^{-7}, obtemos
\frac{1\cdot h^2}{8}\le 5\times10^{-7}.

Passo 5

Resolvendo a desigualdade para h:
h^2 \le 8\cdot 5\times10^{-7}=4\times10^{-6},
portanto
h \le \sqrt{4\times10^{-6}}=2\times10^{-3}=0,002.
Isto significa que se escolhermos h=0,002 (ou qualquer valor menor), a interpolação linear entre nós adjacentes garante erro absoluto \le 5\times10^{-7}, ou seja, seis casas decimais corretas.
Observação prática: o intervalo [1,10] tem comprimento 9. Com h=0,002 o número de subintervalos necessários é n=9/h=4500 (portanto 4501 pontos na tabela). Se quiser economizar memória, poderia tentar métodos mais avançados, mas para interpolação linear uniforme esse é o passo exigido.

Resposta

\;h=0,002\;

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