Calcule aproximadamente
por interpolação linear e estime o erro cometido. De uma função
sabemos que
0
0,2
0,4
0,67
0,82
1
1,22
1,49
.
|
|
|
|
0 | 0,2 | 0,4 |
|
|
0,67 | 0,82 | 1 | 1,22 | 1,49 |
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Calcular aproximadamente
por interpolação linear a partir da tabela dada. - Estimar o erro cometido por essa interpolação.
Da tabela (peguei estes números da tabela do enunciado) temos os pontos:
Note que
está entre
e
, portanto usaremos esses dois pontos para interpolação linear.
Passo 2
O que é interpolação linear?
Dado dois pontos e
com
, a interpolação linear dá a reta que passa por esses pontos. A fórmula da reta (valor aproximado em um
entre
e
) é
Dado dois pontos
Aqui:
-
é o ponto onde queremos estimar a função; -
e são os valores conhecidos; -
é a inclinação (coeficiente angular) da reta.
Passo 3
Escolhendo os pontos vizinhos (peguei estes valores da tabela):
-
. -
.
Como
está entre
e
, aplico a fórmula da interpolação linear.
Passo 4
Calcular a inclinação (mostrando as contas passo a passo):
Expliquei: subtraio os valores de
e divido pela diferença dos
.
Passo 5
Agora calcule
:
Portanto a interpolação linear dá
.
Passo 6
Agora vamos estimar o erro. Teoria do erro da interpolação linear (fórmula de resto de Lagrange): existe
entre
e
tal que o erro
ao usar a reta é
Aqui:
-
é a segunda derivada de em algum ponto ; - o produto
determina como o erro depende da posição de no intervalo.
Para estimar o erro precisamos estimar
no intervalo
.
Passo 7
Estimativa prática de
a partir dos dados (diferença central). Usando
e os pontos
(peguei
,
,
da tabela), a segunda derivada em
pode ser aproximada por
Substituindo:
Então uma estimativa razoável para
no intervalo é aproximadamente
. (Aqui admitimos que
não varia muito entre
e
.)
Passo 8
Aplicar a fórmula do resto no ponto
:
calcule primeiro com
:
calcule primeiro
Com
temos
O sinal negativo indica que o valor verdadeiro é um pouco menor que o valor da reta; em módulo o erro é
.
Passo 9
Interpretação final e correção:
- Interpolação linear dá
. - Estimativa do erro:
.
Portanto o valor verdadeiro deve estar aproximadamente em, e com confiança razoável podemos escrever .
Força aí — esse tipo de conta fica automático com um pouco de treino!