Calcule aproximadamente f(0,1) por interpolação linear e estime o erro cometido. De uma função f sabemos que
x -0,4 -0,2 0 0,2 0,4
f(x) 0,67 0,82 1 1,22 1,49
.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Calcular aproximadamente f(0,1) por interpolação linear a partir da tabela dada.
  • Estimar o erro cometido por essa interpolação.
Da tabela (peguei estes números da tabela do enunciado) temos os pontos:
  • x=-0{,}4,\; f(x)=0{,}67
  • x=-0{,}2,\; f(x)=0{,}82
  • x=0,\; f(x)=1
  • x=0{,}2,\; f(x)=1{,}22
  • x=0{,}4,\; f(x)=1{,}49
Note que 0{,}1 está entre 0 e 0{,}2, portanto usaremos esses dois pontos para interpolação linear.

Passo 2

O que é interpolação linear?
Dado dois pontos (x_0,y_0) e (x_1,y_1) com x_0\neq x_1, a interpolação linear dá a reta que passa por esses pontos. A fórmula da reta (valor aproximado em um x entre x_0 e x_1) é
L(x)=y_0+\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}\,(x-x_0).
Aqui:
  • x é o ponto onde queremos estimar a função;
  • y_0=f(x_0) e y_1=f(x_1) são os valores conhecidos;
  • \dfrac{y_1-y_0}{x_1-x_0} é a inclinação (coeficiente angular) da reta.

Passo 3

Escolhendo os pontos vizinhos (peguei estes valores da tabela):
  • x_0=0,\; y_0=f(0)=1.
  • x_1=0{,}2,\; y_1=f(0{,}2)=1{,}22.
Como x=0{,}1 está entre x_0 e x_1, aplico a fórmula da interpolação linear.

Passo 4

Calcular a inclinação (mostrando as contas passo a passo):
\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}=\frac{1{,}22-1}{0{,}2-0}=\frac{0{,}22}{0{,}2}=1{,}1.
Expliquei: subtraio os valores de f e divido pela diferença dos x.

Passo 5

Agora calcule L(0{,}1):
L(0{,}1)=y_0+\left(\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}\right)(0{,}1-0) =1+1{,}1\cdot0{,}1=1+0{,}11=1{,}11.
Portanto a interpolação linear dá f(0{,}1)\approx1{,}11.

Passo 6

Agora vamos estimar o erro. Teoria do erro da interpolação linear (fórmula de resto de Lagrange): existe \xi entre x_0 e x_1 tal que o erro R(x) ao usar a reta é
R(x)=f(x)-L(x)=\frac{f''(\xi)}{2}\,(x-x_0)(x-x_1).
Aqui:
  • f''(\xi) é a segunda derivada de f em algum ponto \xi\in(x_0,x_1);
  • o produto (x-x_0)(x-x_1) determina como o erro depende da posição de x no intervalo.
Para estimar o erro precisamos estimar f'' no intervalo [0,0{,}2].

Passo 7

Estimativa prática de f'' a partir dos dados (diferença central). Usando h=0{,}2 e os pontos x=-h,0,h (peguei f(-0{,}2)=0{,}82, f(0)=1, f(0{,}2)=1{,}22 da tabela), a segunda derivada em 0 pode ser aproximada por
f''(0)\approx\frac{f(h)-2f(0)+f(-h)}{h^2}.
Substituindo:
f''(0)\approx\frac{1{,}22-2\cdot1+0{,}82}{(0{,}2)^2}=\frac{0{,}04}{0{,}04}=1.
Então uma estimativa razoável para f''(\xi) no intervalo é aproximadamente 1. (Aqui admitimos que f'' não varia muito entre 0 e 0{,}2.)

Passo 8

Aplicar a fórmula do resto no ponto x=0{,}1:
calcule primeiro (x-x_0)(x-x_1) com x=0{,}1,\;x_0=0,\;x_1=0{,}2:
(0{,}1-0)(0{,}1-0{,}2)=0{,}1\cdot(-0{,}1)=-0{,}01.
Com f''(\xi)\approx1 temos
R(0{,}1)\approx\frac{1}{2}\cdot 1\cdot(-0{,}01)=-0{,}005.
O sinal negativo indica que o valor verdadeiro é um pouco menor que o valor da reta; em módulo o erro é |R(0{,}1)|\approx0{,}005.

Passo 9

Interpretação final e correção:
  • Interpolação linear dá L(0{,}1)=1{,}11.
  • Estimativa do erro: |R(0{,}1)|\lesssim0{,}005.
    Portanto o valor verdadeiro deve estar aproximadamente em 1{,}11-0{,}005=1{,}105, e com confiança razoável podemos escrever f(0{,}1)=1{,}11\pm0{,}005.
Força aí — esse tipo de conta fica automático com um pouco de treino!

Resposta

f(0{,}1)\approx1{,}11
|\text{erro}|\approx0{,}005

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