Para a função f(x)=32 x^{6}-48 x^{4}+18 x^{2}-1, qual o número de iterações necessárias para calcular uma raiz no intervalo 0 ; 0,5]\), pelo método da Bisseção, \(\operatorname{com} \varepsilon=0.000001\) ?

Passo 1

O enunciado pede o número de iterações necessárias no método da Bisseção para achar uma raiz de
f(x)=32x^{6}-48x^{4}+18x^{2}-1
no intervalo [0,0{,}5] com erro máximo \varepsilon=0{,}000001. Vamos usar o teorema que garante existência de raiz quando f é contínua e f(a)\,f(b)<0, e o fato de que, após N iterações, o tamanho do intervalo reduz para (b-a)/2^N.

Passo 2

Verificamos a existência de raiz em [0,0{,}5] calculando
f(0)= -1,
f(0{,}5)=32\cdot(0{,}5)^{6}-48\cdot(0{,}5)^{4}+18\cdot(0{,}5)^{2}-1 =0{,}5-3+4{,}5-1=1.
Como f(0)\cdot f(0{,}5)=-1<0, há pelo menos uma raiz no intervalo.

Passo 3

No método da Bisseção, após N iterações o comprimento do subintervalo é
\frac{b-a}{2^N}.
Para garantir que o erro máximo seja \varepsilon, basta ter
\frac{b-a}{2^N}\le\varepsilon.

Passo 4

Da desigualdade acima vem
2^N\ge\frac{b-a}{\varepsilon} \quad\Longrightarrow\quad N\ge\frac{\ln\bigl((b-a)/\varepsilon\bigr)}{\ln2}.
Aqui b-a=0{,}5 e \varepsilon=10^{-6}, logo
N\ge\frac{\ln\bigl(0{,}5/10^{-6}\bigr)}{\ln2} =\frac{\ln(5\times10^{5})}{\ln2} \approx\frac{13{,}1224}{0{,}6931} \approx18{,}93.

Passo 5

Como N deve ser inteiro e N\ge18{,}93, tomamos
N=19.

Resposta

19
(iterações necessárias)

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