Exercício 6: Seja o sistema linear: \left\{\begin{array}{c}10 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=7 \\\ x_{1}+5 x_{2}+x_{3}=-8 \\\\ 2 x_{1}+3 x_{2}+10 x_{3}=6\end{array}\right.
a) É possível dizer que o método de Jacobi é convergente para este sistema?
b) Resolver o sistema \operatorname{com} x^{0}=\left(\begin{array}{c}0,7 \\\\ -1,6 \\\\ 0,6\end{array}\right) e \varepsilon=10^{-5} :
e pede duas coisas:
a) Verificar se o método de Jacobi é convergente para este sistema.
b) Aplicar o método de Jacobi com x^{(0)}=\begin{pmatrix}0,7\\\ -1,6\\\ 0,6\end{pmatrix} até atingir a tolerância \varepsilon=10^{-5} e apresentar a solução aproximada.
Informações relevantes dadas:
Matriz dos coeficientes (vou chamar de A) tem linhas com coeficientes (10,2,1), (1,5,1) e (2,3,10).
Dado A x = b, escrevemos A=D+(L+U), onde D é a matriz diagonal (apenas os elementos a_{ii}), L é a parte estritamente triangular inferior e U a parte estritamente triangular superior.
A iteração de Jacobi vem da reescrita
x^{(k+1)} = D^{-1} \bigl( b - (L+U)x^{(k)} \bigr).
onde a_{ii} é o elemento diagonal da linha i, b_i é o i-ésimo termo do lado direito e x_j^{(k)} são os valores da iteração anterior.
Por que converge ou não:
Uma condição simples e suficiente para a convergência do método de Jacobi é que A seja estritamente diagonalmente dominante por linhas, isto é, para cada linha i
|a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}|.
Outra forma (mais geral) é checar o raio espectral da matriz de iteração B=D^{-1}(L+U): se \rho(B)<1 então converge. Mas calcular \rho(B) exige valores próprios; para provas e exercícios geralmente usamos a condição de dominância, que é fácil de verificar à mão e suficiente.
Passo 3
Aplicando a verificação de dominância ao nosso sistema:
Linha 1: |a_{11}|=10 e soma dos demais |2|+|1|=3. Como 10>3, a linha 1 é estritamente diagonalmente dominante.
Linha 2: |a_{22}|=5 e soma dos demais |1|+|1|=2. Como 5>2, a linha 2 é estritamente diagonalmente dominante.
Linha 3: |a_{33}|=10 e soma dos demais |2|+|3|=5. Como 10>5, a linha 3 é estritamente diagonalmente dominante.
Conclusão: todas as linhas são estritamente diagonalmente dominantes, portanto a condição suficiente está satisfeita e o método de Jacobi é convergente para este sistema.
Passo 4
Escrevendo explicitamente as fórmulas de iteração de Jacobi para este sistema (vamos deixar claro cada componente):
Explicação: cada fórmula vem de isolar x_i na i-ésima equação usando somente valores da iteração anterior x^{(k)} (essa é a característica do método de Jacobi).]
Passo 5
Vamos iterar a partir de x^{(0)}=\begin{pmatrix}0,7\\\ -1,6\\\ 0,6\end{pmatrix}. Em cada iteração calculo x^{(k+1)} pelas fórmulas do passo anterior e uso a norma infinito para a diferença:
Como 0,000009962384<10^{-5}, o critério de parada é satisfeito na iteração 11 (ou seja, obtivemos x^{(11)} com diferença em norma infinito menor que \varepsilon).]
Passo 17
Interpretação e resultado final prático:
O método convergiu (como previsto pela dominância diagonal).
A solução aproximada obtida com a tolerância pedida é
a) Sim. O método de Jacobi é convergente porque a matriz dos coeficientes é estritamente diagonalmente dominante por linhas.
b) x\approx\begin{pmatrix}1,000001842224\\\ -1,999997544288\\\ 1,000002664944\end{pmatrix} (critério \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_{\infty}<10^{-5} atingido na iteração 11).