Exercício 6: Seja o sistema linear: \left\{\begin{array}{c}10 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=7 \\\ x_{1}+5 x_{2}+x_{3}=-8 \\\\ 2 x_{1}+3 x_{2}+10 x_{3}=6\end{array}\right.
a) É possível dizer que o método de Jacobi é convergente para este sistema?
b) Resolver o sistema \operatorname{com} x^{0}=\left(\begin{array}{c}0,7 \\\\ -1,6 \\\\ 0,6\end{array}\right) e \varepsilon=10^{-5} :

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} 10x_{1}+2x_{2}+x_{3}=7,\\[4pt] x_{1}+5x_{2}+x_{3}=-8,\\[4pt] 2x_{1}+3x_{2}+10x_{3}=6, \end{cases}
e pede duas coisas:
a) Verificar se o método de Jacobi é convergente para este sistema.
b) Aplicar o método de Jacobi com x^{(0)}=\begin{pmatrix}0,7\\\ -1,6\\\ 0,6\end{pmatrix} até atingir a tolerância \varepsilon=10^{-5} e apresentar a solução aproximada.
Informações relevantes dadas:
  • Matriz dos coeficientes (vou chamar de A) tem linhas com coeficientes (10,2,1), (1,5,1) e (2,3,10).
  • Vetor lado direito b=(7,-8,6)^{T}.
  • Chute inicial x^{(0)}=\begin{pmatrix}0,7\\\ -1,6\\\ 0,6\end{pmatrix}.
  • Tolerância \varepsilon=10^{-5}.]

Passo 2

O que é o método de Jacobi (explicação didática):
  • Dado A x = b, escrevemos A=D+(L+U), onde D é a matriz diagonal (apenas os elementos a_{ii}), L é a parte estritamente triangular inferior e U a parte estritamente triangular superior.
  • A iteração de Jacobi vem da reescrita
x^{(k+1)} = D^{-1} \bigl( b - (L+U)x^{(k)} \bigr).
  • Em componentes, a fórmula de atualização é
x_{i}^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}\Bigl(b_{i}-\sum_{j\neq i} a_{ij} x_{j}^{(k)}\Bigr),
onde a_{ii} é o elemento diagonal da linha i, b_i é o i-ésimo termo do lado direito e x_j^{(k)} são os valores da iteração anterior.
Por que converge ou não:
  • Uma condição simples e suficiente para a convergência do método de Jacobi é que A seja estritamente diagonalmente dominante por linhas, isto é, para cada linha i
|a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}|.
  • Outra forma (mais geral) é checar o raio espectral da matriz de iteração B=D^{-1}(L+U): se \rho(B)<1 então converge. Mas calcular \rho(B) exige valores próprios; para provas e exercícios geralmente usamos a condição de dominância, que é fácil de verificar à mão e suficiente.

Passo 3

Aplicando a verificação de dominância ao nosso sistema:
  • Linha 1: |a_{11}|=10 e soma dos demais |2|+|1|=3. Como 10>3, a linha 1 é estritamente diagonalmente dominante.
  • Linha 2: |a_{22}|=5 e soma dos demais |1|+|1|=2. Como 5>2, a linha 2 é estritamente diagonalmente dominante.
  • Linha 3: |a_{33}|=10 e soma dos demais |2|+|3|=5. Como 10>5, a linha 3 é estritamente diagonalmente dominante.
Conclusão: todas as linhas são estritamente diagonalmente dominantes, portanto a condição suficiente está satisfeita e o método de Jacobi é convergente para este sistema.

Passo 4

Escrevendo explicitamente as fórmulas de iteração de Jacobi para este sistema (vamos deixar claro cada componente):
\begin{aligned} x_{1}^{(k+1)} &= \frac{1}{10}\bigl(7 - 2\,x_{2}^{(k)} - 1\,x_{3}^{(k)}\bigr),\\[4pt] x_{2}^{(k+1)} &= \frac{1}{5}\bigl(-8 - 1\,x_{1}^{(k)} - 1\,x_{3}^{(k)}\bigr),\\[4pt] x_{3}^{(k+1)} &= \frac{1}{10}\bigl(6 - 2\,x_{1}^{(k)} - 3\,x_{2}^{(k)}\bigr). \end{aligned}
Explicação: cada fórmula vem de isolar x_i na i-ésima equação usando somente valores da iteração anterior x^{(k)} (essa é a característica do método de Jacobi).]

Passo 5

Vamos iterar a partir de x^{(0)}=\begin{pmatrix}0,7\\\ -1,6\\\ 0,6\end{pmatrix}. Em cada iteração calculo x^{(k+1)} pelas fórmulas do passo anterior e uso a norma infinito para a diferença:
\|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_{\infty}=\max_{i}|x_{i}^{(k+1)}-x_{i}^{(k)}|.
Paro quando \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_{\infty}<\varepsilon=10^{-5}.
Cálculos detalhados (vou mostrar todas as contas relevantes):

Passo 6

Usando x^{(0)}=(0,7,\,-1,6,\,0,6)^{T}:
\begin{aligned} x_{1}^{(1)} &= \frac{1}{10}\bigl(7 - 2(-1,6) - 0,6\bigr) = \frac{1}{10}\bigl(7 +3,2 -0,6\bigr) = \frac{9,6}{10}=0,96,\\[4pt] x_{2}^{(1)} &= \frac{1}{5}\bigl(-8 - 0,7 - 0,6\bigr) = \frac{-9,3}{5}=-1,86,\\[4pt] x_{3}^{(1)} &= \frac{1}{10}\bigl(6 - 2(0,7) -3(-1,6)\bigr) = \frac{1}{10}\bigl(6 -1,4 +4,8\bigr) = \frac{9,4}{10}=0,94. \end{aligned}
Resultado: x^{(1)}=\begin{pmatrix}0,96\\\ -1,86\\\ 0,94\end{pmatrix}.
Diferença \|x^{(1)}-x^{(0)}\|_{\infty}=\max(0,26,\,0,26,\,0,34)=0,34.]

Passo 7

Usando x^{(1)}:
\begin{aligned} x_{1}^{(2)} &= \frac{1}{10}\bigl(7 - 2(-1,86) - 0,94\bigr) = \frac{9,78}{10}=0,978,\\[4pt] x_{2}^{(2)} &= \frac{1}{5}\bigl(-8 - 0,96 - 0,94\bigr) = \frac{-9,9}{5}=-1,98,\\[4pt] x_{3}^{(2)} &= \frac{1}{10}\bigl(6 - 2(0,96) - 3(-1,86)\bigr) = \frac{9,66}{10}=0,966. \end{aligned}
Resultado: x^{(2)}=\begin{pmatrix}0,978\\\ -1,98\\\ 0,966\end{pmatrix}.
Diferença \|x^{(2)}-x^{(1)}\|_{\infty}=\max(0,018,\,0,12,\,0,026)=0,12.]

Passo 8

Usando x^{(2)}:
\begin{aligned} x_{1}^{(3)} &= \frac{1}{10}\bigl(7 - 2(-1,98) - 0,966\bigr) = \frac{9,994}{10}=0,9994,\\[4pt] x_{2}^{(3)} &= \frac{1}{5}\bigl(-8 - 0,978 - 0,966\bigr) = \frac{-9,944}{5}=-1,9888,\\[4pt] x_{3}^{(3)} &= \frac{1}{10}\bigl(6 - 2(0,978) - 3(-1,98)\bigr) = \frac{9,984}{10}=0,9984. \end{aligned}
Resultado: x^{(3)}=\begin{pmatrix}0,9994\\\ -1,9888\\\ 0,9984\end{pmatrix}.
Diferença \|x^{(3)}-x^{(2)}\|_{\infty}=\max(0,0214,\,0,0088,\,0,0324)=0,0324.]

Passo 9

Usando x^{(3)}:
\begin{aligned} x_{1}^{(4)} &= \frac{1}{10}\bigl(7 - 2(-1,9888) - 0,9984\bigr) = \frac{9,9792}{10}=0,99792,\\[4pt] x_{2}^{(4)} &= \frac{1}{5}\bigl(-8 - 0,9994 - 0,9984\bigr) = \frac{-9,9978}{5}=-1,99956,\\[4pt] x_{3}^{(4)} &= \frac{1}{10}\bigl(6 - 2(0,9994) - 3(-1,9888)\bigr) = \frac{9,9676}{10}=0,99676. \end{aligned}
Resultado: x^{(4)}=\begin{pmatrix}0,99792\\\ -1,99956\\\ 0,99676\end{pmatrix}.
Diferença \|x^{(4)}-x^{(3)}\|_{\infty}=\max(0,00148,\,0,01076,\,0,00164)=0,01076.]

Passo 10

Usando x^{(4)}:
\begin{aligned} x_{1}^{(5)} &= \frac{1}{10}\bigl(7 - 2(-1,99956) - 0,99676\bigr) = \frac{10,00236}{10}=1,000236,\\[4pt] x_{2}^{(5)} &= \frac{1}{5}\bigl(-8 - 0,99792 - 0,99676\bigr) = \frac{-9,99468}{5}=-1,998936,\\[4pt] x_{3}^{(5)} &= \frac{1}{10}\bigl(6 - 2(0,99792) - 3(-1,99956)\bigr) = \frac{10,00284}{10}=1,000284. \end{aligned}
Resultado: x^{(5)}=\begin{pmatrix}1,000236\\\ -1,998936\\\ 1,000284\end{pmatrix}.
Diferença \|x^{(5)}-x^{(4)}\|_{\infty}=\max(0,002316,\,0,000624,\,0,003524)=0,003524.]

Passo 11

Usando x^{(5)}:
\begin{aligned} x_{1}^{(6)} &= \frac{1}{10}\bigl(7 - 2(-1,998936) - 1,000284\bigr) = \frac{9,997588}{10}=0,9997588,\\[4pt] x_{2}^{(6)} &= \frac{1}{5}\bigl(-8 - 1,000236 - 1,000284\bigr) = \frac{-10,00076}{5}=-2,000152,\\[4pt] x_{3}^{(6)} &= \frac{1}{10}\bigl(6 - 2(1,000236) - 3(-1,998936)\bigr) = \frac{9,996336}{10}=0,9996336. \end{aligned}
Resultado: x^{(6)}=\begin{pmatrix}0,9997588\\\ -2,000152\\\ 0,9996336\end{pmatrix}.
Diferença \|x^{(6)}-x^{(5)}\|_{\infty}=\max(0,0004772,\,0,001216,\,0,0006504)=0,001216.]

Passo 12

Usando x^{(6)}:
\begin{aligned} x_{1}^{(7)} &= \frac{1}{10}\bigl(7 - 2(-2,000152) - 0,9996336\bigr) = \frac{10,0006704}{10}=1,00006704,\\[4pt] x_{2}^{(7)} &= \frac{1}{5}\bigl(-8 - 0,9997588 - 0,9996336\bigr) = \frac{-9,9993924}{5}=-1,99987848,\\[4pt] x_{3}^{(7)} &= \frac{1}{10}\bigl(6 - 2(0,9997588) - 3(-2,000152)\bigr) = \frac{10,0009384}{10}=1,00009384. \end{aligned}
Resultado: x^{(7)}=\begin{pmatrix}1,00006704\\\ -1,99987848\\\ 1,00009384\end{pmatrix}.
Diferença \|x^{(7)}-x^{(6)}\|_{\infty}=\max(0,00030824,\,0,00027352,\,0,00046024)=0,00046024.]

Passo 13

Usando x^{(7)}:
\begin{aligned} x_{1}^{(8)} &= \frac{1}{10}\bigl(7 - 2(-1,99987848) - 1,00009384\bigr) = \frac{9,99966312}{10}=0,999966312,\\[4pt] x_{2}^{(8)} &= \frac{1}{5}\bigl(-8 - 1,00006704 - 1,00009384\bigr) = \frac{-10,00016088}{5}=-2,000032176,\\[4pt] x_{3}^{(8)} &= \frac{1}{10}\bigl(6 - 2(1,00006704) - 3(-1,99987848)\bigr) = \frac{9,99950136}{10}=0,999950136. \end{aligned}
Resultado: x^{(8)}=\begin{pmatrix}0,999966312\\\ -2,000032176\\\ 0,999950136\end{pmatrix}.
Diferença \|x^{(8)}-x^{(7)}\|_{\infty}=\max(0,000100728,\,0,000153696,\,0,000143704)=0,000153696.]

Passo 14

Usando x^{(8)}:
\begin{aligned} x_{1}^{(9)} &= \frac{1}{10}\bigl(7 - 2(-2,000032176) - 0,999950136\bigr) = \frac{10,000114216}{10}=1,0000114216,\\[4pt] x_{2}^{(9)} &= \frac{1}{5}\bigl(-8 - 0,999966312 - 0,999950136\bigr) = \frac{-9,999916448}{5}=-1,9999832896,\\[4pt] x_{3}^{(9)} &= \frac{1}{10}\bigl(6 - 2(0,999966312) - 3(-2,000032176)\bigr) = \frac{10,000163904}{10}=1,0000163904. \end{aligned}
Resultado: x^{(9)}=\begin{pmatrix}1,0000114216\\\ -1,9999832896\\\ 1,0000163904\end{pmatrix}.
Diferença \|x^{(9)}-x^{(8)}\|_{\infty}=\max(0,0000451096,\,0,0000488864,\,0,0000662544)=0,0000662544.]

Passo 15

Usando x^{(9)}:
\begin{aligned} x_{1}^{(10)} &= \frac{1}{10}\bigl(7 - 2(-1,9999832896) - 1,0000163904\bigr) = \frac{9,9999501888}{10}=0,99999501888,\\[4pt] x_{2}^{(10)} &= \frac{1}{5}\bigl(-8 - 1,0000114216 - 1,0000163904\bigr) = \frac{-10,000027812}{5}=-2,0000055624,\\[4pt] x_{3}^{(10)} &= \frac{1}{10}\bigl(6 - 2(1,0000114216) - 3(-1,9999832896)\bigr) = \frac{9,9999270256}{10}=0,99999270256. \end{aligned}
Resultado: x^{(10)}=\begin{pmatrix}0,99999501888\\\ -2,0000055624\\\ 0,99999270256\end{pmatrix}.
Diferença \|x^{(10)}-x^{(9)}\|_{\infty}=\max(0,00001640272,\,0,0000222728,\,0,00002368816)=0,00002368816.]

Passo 16

Usando x^{(10)}:
\begin{aligned} x_{1}^{(11)} &= \frac{1}{10}\bigl(7 - 2(-2,0000055624) - 0,99999270256\bigr) = \frac{10,00001842224}{10}=1,000001842224,\\[4pt] x_{2}^{(11)} &= \frac{1}{5}\bigl(-8 - 0,99999501888 - 0,99999270256\bigr) = \frac{-9,99998772144}{5}=-1,999997544288,\\[4pt] x_{3}^{(11)} &= \frac{1}{10}\bigl(6 - 2(0,99999501888) - 3(-2,0000055624)\bigr) = \frac{10,00002664944}{10}=1,000002664944. \end{aligned}
Resultado: x^{(11)}=\begin{pmatrix}1,000001842224\\\ -1,999997544288\\\ 1,000002664944\end{pmatrix}.
Diferença \|x^{(11)}-x^{(10)}\|_{\infty}=\max(0,000006823344,\,0,000008018112,\,0,000009962384)=0,000009962384.
Como 0,000009962384<10^{-5}, o critério de parada é satisfeito na iteração 11 (ou seja, obtivemos x^{(11)} com diferença em norma infinito menor que \varepsilon).]

Passo 17

Interpretação e resultado final prático:
  • O método convergiu (como previsto pela dominância diagonal).
  • A solução aproximada obtida com a tolerância pedida é
x^{(11)}\approx\begin{pmatrix}1,000001842224\\[2pt]-1,999997544288\\[2pt]1,000002664944\end{pmatrix}.
  • Em notação arredondada a 6 casas decimais (suficiente para \varepsilon=10^{-5}) isso dá
x\approx\begin{pmatrix}1,000002\\\ -1,999998\\\ 1,000003\end{pmatrix}.]

Resposta

a) Sim. O método de Jacobi é convergente porque a matriz dos coeficientes é estritamente diagonalmente dominante por linhas.
b) x\approx\begin{pmatrix}1,000001842224\\\ -1,999997544288\\\ 1,000002664944\end{pmatrix} (critério \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_{\infty}<10^{-5} atingido na iteração 11).

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