usando o chute inicial \,x^{0}=(0,0,0)^{T}\, e a tolerância \,\varepsilon=10^{-5}.
Informações dadas e o que é pedido:
Matriz dos coeficientes A e vetor b dados acima.
x^{0}=(0,0,0)^{T} é o vetor inicial.
Critério de parada: diferença entre iterações sucessivas menor que \varepsilon=10^{-5} (vou usar a norma infinito \| \cdot \|_{\infty}, i.e., máximo valor absoluto das componentes das diferenças).
Resultado pedido: aproximação numérica de (x_1,x_2,x_3) que satisfaça o critério.]
Passo 2
Escolha do método e explicação didática (por que e como usar).
Decisão: vou usar o método de Gauss–Seidel (iteração sequencial). Justificativa curta: a matriz apresenta dominância diagonal (linhas 1 e 3 estritamente dominantes e a 2ª é fracamente dominante), então Gauss–Seidel costuma convergir e converge mais rápido que Jacobi em muitos casos práticos. Além disso, Gauss–Seidel é simples de aplicar manualmente e usa as últimas atualizações imediatamente, o que acelera a convergência.
O método (explicado passo a passo):
Para o sistema A x = b com elementos a_{ij}, Gauss–Seidel atualiza cada componente x_i usando as componentes já atualizadas nesta iteração quando disponíveis:
Critério de parada usado: parar quando \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_{\infty}<10^{-5}. A norma infinito \|v\|_{\infty} é definida como \|v\|_{\infty}=\max_i |v_i|.
Agora vamos iterar partindo de x^{(0)}=(0,0,0)^{T}.]
Portanto x^{(10)}=(1{,}2109357997480198,\\\ 0{,}039065089750301995,\\\ 2{,}148438431201356)^{T}.
Diferença \|x^{(10)}-x^{(9)}\|_{\infty}\approx 1{,}1600644617695\times 10^{-5}, ainda ligeiramente maior que 10^{-5}.]
Obtemos x^{(11)}\approx(1{,}2109373341451054,\\\ 0{,}03906178820989409,\\\ 2{,}148437687277436)^{T}.
Agora a diferença \|x^{(11)}-x^{(10)}\|_{\infty}\approx 3{,}3015404079057\times 10^{-6}<10^{-5}. Portanto o critério é satisfeito e podemos parar.]