Exercício 7: Seja o sistema linear:
\left(\begin{array}{ccc} 10 & 1 & -1 \\\\ 2 & 10 & 8 \\\\ 7 & 1 & 10 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 10 \\\\ 20 \\\\ 30 \end{array}\right)
Resolva novamente o sistema empregando x^{0}=\left(\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right) e \varepsilon=10^{-5}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
\begin{pmatrix} 10 & 1 & -1\\[4pt] 2 & 10 & 8\\[4pt] 7 & 1 & 10 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}10\\[4pt]20\\[4pt]30\end{pmatrix}
usando o chute inicial \,x^{0}=(0,0,0)^{T}\, e a tolerância \,\varepsilon=10^{-5}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • Matriz dos coeficientes A e vetor b dados acima.
  • x^{0}=(0,0,0)^{T} é o vetor inicial.
  • Critério de parada: diferença entre iterações sucessivas menor que \varepsilon=10^{-5} (vou usar a norma infinito \| \cdot \|_{\infty}, i.e., máximo valor absoluto das componentes das diferenças).
  • Resultado pedido: aproximação numérica de (x_1,x_2,x_3) que satisfaça o critério.]

Passo 2

Escolha do método e explicação didática (por que e como usar).
Decisão: vou usar o método de Gauss–Seidel (iteração sequencial). Justificativa curta: a matriz apresenta dominância diagonal (linhas 1 e 3 estritamente dominantes e a 2ª é fracamente dominante), então Gauss–Seidel costuma convergir e converge mais rápido que Jacobi em muitos casos práticos. Além disso, Gauss–Seidel é simples de aplicar manualmente e usa as últimas atualizações imediatamente, o que acelera a convergência.
O método (explicado passo a passo):
  • Para o sistema A x = b com elementos a_{ij}, Gauss–Seidel atualiza cada componente x_i usando as componentes já atualizadas nesta iteração quando disponíveis:
x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}\Big(b_i-\sum_{j=1}^{i-1}a_{ij}x_j^{(k+1)}-\sum_{j=i+1}^{n}a_{ij}x_j^{(k)}\Big).
  • Aqui x^{(k)} indica o vetor na iteração k e x^{(k+1)} vai sendo preenchido componente a componente.
  • Para este sistema, extraímos os coeficientes e escrevemos as fórmulas explícitas (mostro o que cada símbolo significa):
    • a_{11}=10,\\ a_{12}=1,\\ a_{13}=-1,\\ b_1=10.
    • a_{21}=2,\\ a_{22}=10,\\ a_{23}=8,\\ b_2=20.
    • a_{31}=7,\\ a_{32}=1,\\ a_{33}=10,\\ b_3=30.
  • Substituindo nas fórmulas obtemos, para cada iteração k,
\begin{aligned} x_1^{(k+1)} &= \frac{1}{10}\big(10 - 1\cdot x_2^{(k)} - (-1)\cdot x_3^{(k)}\big) = 1 - 0{,}1\,x_2^{(k)} + 0{,}1\,x_3^{(k)},\\[6pt] x_2^{(k+1)} &= \frac{1}{10}\big(20 - 2\cdot x_1^{(k+1)} - 8\cdot x_3^{(k)}\big) = 2 - 0{,}2\,x_1^{(k+1)} - 0{,}8\,x_3^{(k)},\\[6pt] x_3^{(k+1)} &= \frac{1}{10}\big(30 - 7\cdot x_1^{(k+1)} - 1\cdot x_2^{(k+1)}\big) = 3 - 0{,}7\,x_1^{(k+1)} - 0{,}1\,x_2^{(k+1)}. \end{aligned}
  • Critério de parada usado: parar quando \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_{\infty}<10^{-5}. A norma infinito \|v\|_{\infty} é definida como \|v\|_{\infty}=\max_i |v_i|.
Agora vamos iterar partindo de x^{(0)}=(0,0,0)^{T}.]

Passo 3

Iteração k=0 \to k=1 (uso x^{(0)}=(0,0,0)):
\begin{aligned} x_1^{(1)} &= 1 - 0{,}1\cdot 0 + 0{,}1\cdot 0 = 1,\\[4pt] x_2^{(1)} &= 2 - 0{,}2\cdot 1 - 0{,}8\cdot 0 = 2 - 0{,}2 = 1{,}8,\\[4pt] x_3^{(1)} &= 3 - 0{,}7\cdot 1 - 0{,}1\cdot 1{,}8 = 3 - 0{,}7 - 0{,}18 = 2{,}12. \end{aligned}
Portanto x^{(1)}=(1,\\\ 1{,}8,\\\ 2{,}12)^{T}.
Diferença \|x^{(1)}-x^{(0)}\|_{\infty}=\max\{1,1{,}8,2{,}12\}=2{,}12>10^{-5}.]

Passo 4

Iteração k=1 \to k=2:
\begin{aligned} x_1^{(2)} &= 1 - 0{,}1\cdot 1{,}8 + 0{,}1\cdot 2{,}12 = 1 - 0{,}18 + 0{,}212 = 1{,}032,\\[4pt] x_2^{(2)} &= 2 - 0{,}2\cdot 1{,}032 - 0{,}8\cdot 2{,}12 = 2 - 0{,}2064 - 1{,}696 = 0{,}0976,\\[4pt] x_3^{(2)} &= 3 - 0{,}7\cdot 1{,}032 - 0{,}1\cdot 0{,}0976 = 3 - 0{,}7224 - 0{,}00976 = 2{,}26784. \end{aligned}
Assim x^{(2)}=(1{,}032,\\\ 0{,}0976,\\\ 2{,}26784)^{T}.
Diferença \|x^{(2)}-x^{(1)}\|_{\infty}=\max\{0{,}032,\\\ 1{,}7024,\\\ 0{,}14784\}=1{,}7024>10^{-5}.]

Passo 5

Iteração k=2 \to k=3:
\begin{aligned} x_1^{(3)} &= 1 - 0{,}1\cdot 0{,}0976 + 0{,}1\cdot 2{,}26784 = 1 - 0{,}00976 + 0{,}226784 = 1{,}217024,\\[4pt] x_2^{(3)} &= 2 - 0{,}2\cdot 1{,}217024 - 0{,}8\cdot 2{,}26784 = 2 - 0{,}2434048 - 1{,}814272 = -0{,}0576768,\\[4pt] x_3^{(3)} &= 3 - 0{,}7\cdot 1{,}217024 - 0{,}1\cdot(-0{,}0576768) \\[4pt] &= 3 - 0{,}8519168 + 0{,}00576768 = 2{,}15385088. \end{aligned}
Logo x^{(3)}=(1{,}217024,\\\ -0{,}0576768,\\\ 2{,}15385088)^{T}.
Diferença \|x^{(3)}-x^{(2)}\|_{\infty}\approx 0{,}185024>10^{-5}.]

Passo 6

Iteração k=3 \to k=4:
\begin{aligned} x_1^{(4)} &= 1 - 0{,}1\cdot(-0{,}0576768) + 0{,}1\cdot 2{,}15385088 = 1 + 0{,}00576768 + 0{,}215385088 = 1{,}221152768,\\[4pt] x_2^{(4)} &= 2 - 0{,}2\cdot 1{,}221152768 - 0{,}8\cdot 2{,}15385088 = 2 - 0{,}2442305536 - 1{,}723080704 = 0{,}0326887424,\\[4pt] x_3^{(4)} &= 3 - 0{,}7\cdot 1{,}221152768 - 0{,}1\cdot 0{,}0326887424 \\\ &= 3 - 0{,}8548069376 - 0{,}00326887424 = 2{,}14192418816. \end{aligned}
Portanto x^{(4)}=(1{,}221152768,\\\ 0{,}0326887424,\\\ 2{,}14192418816)^{T}.
Diferença \|x^{(4)}-x^{(3)}\|_{\infty}\approx 0{,}0903655424>10^{-5}.]

Passo 7

Iteração k=4 \to k=5:
\begin{aligned} x_1^{(5)} &= 1 - 0{,}1\cdot 0{,}0326887424 + 0{,}1\cdot 2{,}14192418816 = 1 - 0{,}00326887424 + 0{,}214192418816 = 1{,}210923544576,\\[4pt] x_2^{(5)} &= 2 - 0{,}2\cdot 1{,}210923544576 - 0{,}8\cdot 2{,}14192418816 \\\ &= 2 - 0{,}2421847089152 - 1{,}713539350528 = 0{,}0442759405568,\\[4pt] x_3^{(5)} &= 3 - 0{,}7\cdot 1{,}210923544576 - 0{,}1\cdot 0{,}0442759405568 \\\ &= 3 - 0{,}8476464812032 - 0{,}00442759405568 = 2{,}14792592474112. \end{aligned}
Logo x^{(5)}=(1{,}210923544576,\\\ 0{,}0442759405568,\\\ 2{,}14792592474112)^{T}.
Diferença \|x^{(5)}-x^{(4)}\|_{\infty}\approx 0{,}0115871981568>10^{-5}.]

Passo 8

Iteração k=5 \to k=6:
\begin{aligned} x_1^{(6)} &= 1 - 0{,}1\cdot 0{,}0442759405568 + 0{,}1\cdot 2{,}14792592474112 \\\ &= 1 - 0{,}00442759405568 + 0{,}214792592474112 = 1{,}210364998418432,\\[4pt] x_2^{(6)} &= 2 - 0{,}2\cdot 1{,}210364998418432 - 0{,}8\cdot 2{,}14792592474112 \\\ &= 2 - 0{,}2420729996836864 - 1{,}718340739792896 = 0{,}0395862605234176,\\[4pt] x_3^{(6)} &= 3 - 0{,}7\cdot 1{,}210364998418432 - 0{,}1\cdot 0{,}0395862605234176 \\\ &= 3 - 0{,}8472554988929024 - 0{,}00395862605234176 = 2{,}1487858750547558. \end{aligned}
Assim x^{(6)}=(1{,}210364998418432,\\\ 0{,}0395862605234176,\\\ 2{,}1487858750547558)^{T}.
Diferença \|x^{(6)}-x^{(5)}\|_{\infty}\approx 0{,}0046896800333824>10^{-5}.]

Passo 9

Iteração k=6 \to k=7:
\begin{aligned} x_1^{(7)} &= 1 - 0{,}1\cdot 0{,}0395862605234176 + 0{,}1\cdot 2{,}1487858750547558 \\\ &= 1 + 0{,}21091996145313382 = 1{,}2109199614531338,\\[4pt] x_2^{(7)} &= 2 - 0{,}2\cdot 1{,}2109199614531338 - 0{,}8\cdot 2{,}1487858750547558 \\\ &= 2 - 0{,}24218399229062676 - 1{,}7190287000438046 = 0{,}03878730766556864,\\[4pt] x_3^{(7)} &= 3 - 0{,}7\cdot 1{,}2109199614531338 - 0{,}1\cdot 0{,}03878730766556864 \\\ &= 3 - 0{,}8476439730171946 - 0{,}003878730766556864 = 2{,}1484772962162487. \end{aligned}
Portanto x^{(7)}=(1{,}2109199614531338,\\\ 0{,}03878730766556864,\\\ 2{,}1484772962162487)^{T}.
Diferença \|x^{(7)}-x^{(6)}\|_{\infty}\approx 0{,}00079895285784896>10^{-5}.]

Passo 10

Iteração k=7 \to k=8:
\begin{aligned} x_1^{(8)} &= 1 - 0{,}1\cdot 0{,}03878730766556864 + 0{,}1\cdot 2{,}1484772962162487 \\\ &= 1 + 0{,}210968998855068 = 1{,}210968998855068,\\[4pt] x_2^{(8)} &= 2 - 0{,}2\cdot 1{,}210968998855068 - 0{,}8\cdot 2{,}1484772962162487 \\\ &= 2 - 0{,}2421937997710136 - 1{,}718781836972999 = 0{,}03902436325598736,\\[4pt] x_3^{(8)} &= 3 - 0{,}7\cdot 1{,}210968998855068 - 0{,}1\cdot 0{,}03902436325598736 \\\ &= 3 - 0{,}8476782991985476 - 0{,}003902436325598736 = 2{,}1484192644758538. \end{aligned}
Assim x^{(8)}=(1{,}210968998855068,\\\ 0{,}03902436325598736,\\\ 2{,}1484192644758538)^{T}.
Diferença \|x^{(8)}-x^{(7)}\|_{\infty}\approx 0{,}00023705559041872>10^{-5}.]

Passo 11

Iteração k=8 \to k=9:
\begin{aligned} x_1^{(9)} &= 1 - 0{,}1\cdot 0{,}03902436325598736 + 0{,}1\cdot 2{,}1484192644758538 \\\ &= 1 + 0{,}21093949012198664 = 1{,}2109394901219866,\\[4pt] x_2^{(9)} &= 2 - 0{,}2\cdot 1{,}2109394901219866 - 0{,}8\cdot 2{,}1484192644758538 \\\ &= 2 - 0{,}24218789802439733 - 1{,}718735411580683 = 0{,}03907669039491969,\\[4pt] x_3^{(9)} &= 3 - 0{,}7\cdot 1{,}2109394901219866 - 0{,}1\cdot 0{,}03907669039491969 \\\ &= 3 - 0{,}8476576430853906 - 0{,}003907669039491969 = 2{,}1484346878751176. \end{aligned}
Logo x^{(9)}=(1{,}2109394901219866,\\\ 0{,}03907669039491969,\\\ 2{,}1484346878751176)^{T}.
Diferença \|x^{(9)}-x^{(8)}\|_{\infty}\approx 0{,}00005232713893233>10^{-5}.]

Passo 12

Iteração k=9 \to k=10:
\begin{aligned} x_1^{(10)} &= 1 - 0{,}1\cdot 0{,}03907669039491969 + 0{,}1\cdot 2{,}1484346878751176 \\\ &= 1 + 0{,}21093579974801979 = 1{,}2109357997480198,\\[4pt] x_2^{(10)} &= 2 - 0{,}2\cdot 1{,}2109357997480198 - 0{,}8\cdot 2{,}1484346878751176 \\\ &= 2 - 0{,}24218715994960396 - 1{,}718747750300094 = 0{,}039065089750301995,\\[4pt] x_3^{(10)} &= 3 - 0{,}7\cdot 1{,}2109357997480198 - 0{,}1\cdot 0{,}039065089750301995 \\\ &= 3 - 0{,}8476550598236138 - 0{,}0039065089750301995 = 2{,}148438431201356. \end{aligned}
Portanto x^{(10)}=(1{,}2109357997480198,\\\ 0{,}039065089750301995,\\\ 2{,}148438431201356)^{T}.
Diferença \|x^{(10)}-x^{(9)}\|_{\infty}\approx 1{,}1600644617695\times 10^{-5}, ainda ligeiramente maior que 10^{-5}.]

Passo 13

Iteração k=10 \to k=11 (verificação do critério):
\begin{aligned} x_1^{(11)} &= 1 - 0{,}1\cdot 0{,}039065089750301995 + 0{,}1\cdot 2{,}148438431201356 \\\ &= 1 + 0{,}2109373341451054 = 1{,}2109373341451054,\\[4pt] x_2^{(11)} &= 2 - 0{,}2\cdot 1{,}2109373341451054 - 0{,}8\cdot 2{,}148438431201356 \\\ &\approx 0{,}03906178820989409,\\[4pt] x_3^{(11)} &= 3 - 0{,}7\cdot 1{,}2109373341451054 - 0{,}1\cdot 0{,}03906178820989409 \\\ &\approx 2{,}148437687277436. \end{aligned}
Obtemos x^{(11)}\approx(1{,}2109373341451054,\\\ 0{,}03906178820989409,\\\ 2{,}148437687277436)^{T}.
Agora a diferença \|x^{(11)}-x^{(10)}\|_{\infty}\approx 3{,}3015404079057\times 10^{-6}<10^{-5}. Portanto o critério é satisfeito e podemos parar.]

Resposta

\,x_{1}\approx 1{,}2109373341451054
\,x_{2}\approx 0{,}03906178820989409
\,x_{3}\approx 2{,}148437687277436

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