Seja o problema de 4 equações e 4 incógnitas dado por:
\left(\begin{array}{cccc} 2 & 1 & 4 & -2 \\\\ -3 & 4 & 2 & -1 \\\\ 3 & 5 & -2 & 4 \\\\ -2 & 3 & 2 & 4 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \\\ x_{4} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 19 \\\\ 1 \\\\ 8 \\\\ 13 \end{array}\right)
Resolva o sistema de equações empregando:
Método de Jacobi

Passo 1

O problema pede que eu resolva o sistema linear dado, usando o método iterativo de Jacobi. O sistema fornecido é:
\begin{pmatrix} 2 & 1 & 4 & -2 \\\\ -3 & 4 & 2 & -1 \\\\ 3 & 5 & -2 & 4 \\\\ -2 & 3 & 2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \\\ x_{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 \\\\ 1 \\\\ 8 \\\\ 13 \end{pmatrix}
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 4 & -2 \\\\ -3 & 4 & 2 & -1 \\\\ 3 & 5 & -2 & 4 \\\\ -2 & 3 & 2 & 4 \end{pmatrix},\qquad \mathbf{x}=\begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\x_4\end{pmatrix},\qquad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}19\\\ 1\\\ 8\\\ 13\end{pmatrix}.
O pedido é especificamente: aplicar o método de Jacobi para resolver o sistema.

Passo 2

Vou explicar o que é o método de Jacobi e as condições de convergência de forma simples e prática.
  • Decompondo A em:
A = D - (L+U),
onde D é a matriz diagonal (contendo os elementos diagonais de A), e (L+U) contém as demais entradas (com o sinal apropriado conforme a decomposição acima). Em termos práticos, D tem em cada linha apenas o coeficiente da incógnita da própria linha.
  • A iteração de Jacobi é dada por:
\mathbf{x}^{(k+1)} = D^{-1}\big(\mathbf{b} - (L+U)\mathbf{x}^{(k)}\big).
Isto significa: para atualizar cada componente x_i usamos apenas os valores antigos \mathbf{x}^{(k)} (não usamos valores já atualizados na mesma iteração).
  • Critério de convergência (intuitivo e prático):
    • Uma condição suficiente (mas não necessária) para convergência é que A seja estritamente diagonalmente dominante por linhas, isto é, para todo i:
    |a_{ii}| > \sum_{j\ne i} |a_{ij}|.
    • Outra forma prática de checar é olhar a matriz de iteração de Jacobi B = -D^{-1}(L+U). Se a norma \|B\| (por exemplo, norma infinito: máxima soma das linhas em valor absoluto) for <1, então Jacobi converge. Se \|B\|_\infty>1, então não há garantia e normalmente ocorre divergência.
Vou aplicar essas ideias ao nosso sistema.

Passo 3

Vou escrever explicitamente as fórmulas de iteração de Jacobi, isolando cada incógnita em sua equação original.
As equações do sistema, linha a linha, são:
\begin{aligned} 2x_1 + 1x_2 + 4x_3 -2x_4 &= 19,\\\\ -3x_1 +4x_2 +2x_3 -1x_4 &= 1,\\\\ 3x_1 +5x_2 -2x_3 +4x_4 &= 8,\\\\ -2x_1 +3x_2 +2x_3 +4x_4 &= 13. \end{aligned}
Isolando cada x_i (dividindo pelo coeficiente diagonal correspondente) obtenho as fórmulas de iteração de Jacobi:
\begin{aligned} x_1^{(k+1)} &= \tfrac{1}{2}\big(19 - x_2^{(k)} -4x_3^{(k)} +2x_4^{(k)}\big),\\[4pt] x_2^{(k+1)} &= \tfrac{1}{4}\big(1 +3x_1^{(k)} -2x_3^{(k)} + x_4^{(k)}\big),\\[4pt] x_3^{(k+1)} &= -\tfrac{1}{2}\big(8 -3x_1^{(k)} -5x_2^{(k)} -4x_4^{(k)}\big) = -4 + \tfrac{3}{2}x_1^{(k)} + \tfrac{5}{2}x_2^{(k)} + 2x_4^{(k)},\\[4pt] x_4^{(k+1)} &= \tfrac{1}{4}\big(13 +2x_1^{(k)} -3x_2^{(k)} -2x_3^{(k)}\big). \end{aligned}
Aqui cada fórmula significa: para obter x_i na iteração k+1 eu uso somente os valores \{x_j^{(k)}\}_{j=1}^{4}.]

Passo 4

Escolho o chute inicial padrão \mathbf{x}^{(0)}=(0,0,0,0)^\top (é um chute simples e comum). Vou calcular explicitamente uma iteração para ver o comportamento.
Com \mathbf{x}^{(0)}=(0,0,0,0)^\top:
\begin{aligned} x_1^{(1)} &= \tfrac{1}{2}(19 - 0 - 0 + 0) = \tfrac{19}{2} = 9{,}5,\\[4pt] x_2^{(1)} &= \tfrac{1}{4}(1 + 0 - 0 + 0) = \tfrac{1}{4} = 0{,}25,\\[4pt] x_3^{(1)} &= -4 + \tfrac{3}{2}\cdot 0 + \tfrac{5}{2}\cdot 0 + 2\cdot 0 = -4,\\[4pt] x_4^{(1)} &= \tfrac{1}{4}(13 + 0 - 0 - 0) = \tfrac{13}{4} = 3{,}25. \end{aligned}
Logo,
\mathbf{x}^{(1)}=\begin{pmatrix}9{,}5\\\ 0{,}25\\\ -4\\\ 3{,}25\end{pmatrix}.]

Passo 5

Faço a segunda iteração para ver se os valores tendem a estabilizar ou explodir.
Usando \mathbf{x}^{(1)} nas fórmulas:
\begin{aligned} x_1^{(2)} &= \tfrac{1}{2}\big(19 - 0{,}25 -4\cdot(-4) + 2\cdot 3{,}25\big)\\\ &= \tfrac{1}{2}\big(19 -0{,}25 +16 +6{,}5\big) = \tfrac{1}{2}\cdot 41{,}25 = 20{,}625,\\[6pt] x_2^{(2)} &= \tfrac{1}{4}\big(1 +3\cdot 9{,}5 -2\cdot(-4) + 3{,}25\big)\\\ &= \tfrac{1}{4}\big(1 +28{,}5 +8 +3{,}25\big) = \tfrac{1}{4}\cdot 40{,}75 = 10{,}1875,\\[6pt] x_3^{(2)} &= -4 + \tfrac{3}{2}\cdot 9{,}5 + \tfrac{5}{2}\cdot 0{,}25 + 2\cdot 3{,}25\\\ &= -4 +14{,}25 +0{,}625 +6{,}5 = 17{,}375,\\[6pt] x_4^{(2)} &= \tfrac{1}{4}\big(13 +2\cdot 9{,}5 -3\cdot 0{,}25 -2\cdot(-4)\big)\\\ &= \tfrac{1}{4}\big(13 +19 -0{,}75 +8\big) = \tfrac{1}{4}\cdot 39{,}25 = 9{,}8125. \end{aligned}
Então
\mathbf{x}^{(2)}=\begin{pmatrix}20{,}625\\\ 10{,}1875\\\ 17{,}375\\\ 9{,}8125\end{pmatrix}.
Observação: os valores cresceram bastante entre \mathbf{x}^{(1)} e \mathbf{x}^{(2)}. Isso já é um sinal de que a iteração pode divergir.]

Passo 6

Agora eu verifico o critério de convergência de forma prática (diagonal dominance e norma da matriz de iteração).
  • Teste de dominância por linhas (suficiente para convergência): para cada linha i verifico se
|a_{ii}| > \sum_{j\ne i} |a_{ij}|.
Cálculo linha a linha (peguei os coeficientes da matriz A dada no enunciado):
\begin{aligned} \text{linha 1: }& |a_{11}| = |2|,\quad \sum_{j\ne1}|a_{1j}| = |1|+|4|+|-2| = 1+4+2 = 7,\; \text{logo }2 \not> 7,\\[3pt] \text{linha 2: }& |a_{22}| = |4|,\quad \sum_{j\ne2}|a_{2j}| = |{-3}|+|2|+|-1| = 3+2+1 = 6,\; \text{logo }4 \not> 6,\\[3pt] \text{linha 3: }& |a_{33}| = |{-2}|=2,\quad \sum_{j\ne3}|a_{3j}| = |3|+|5|+|4| = 3+5+4 =12,\; \text{logo }2 \not> 12,\\[3pt] \text{linha 4: }& |a_{44}| = |4|,\quad \sum_{j\ne4}|a_{4j}| = |{-2}|+|3|+|2| = 2+3+2 =7,\; \text{logo }4 \not>7. \end{aligned}
Conclusão imediata: a matriz A não é estritamente diagonalmente dominante por linhas. Portanto a condição suficiente de convergência não é satisfeita — há forte suspeita de que Jacobi não convergirá.
  • Norma infinito da matriz de iteração de Jacobi: a matriz de iteração é B = -D^{-1}(L+U). Para a norma infinito de B podemos tomar, linha a linha, a soma dos valores absolutos dos coeficientes de B, que é simplesmente, para cada linha i,
\sum_{j\ne i} \frac{|a_{ij}|}{|a_{ii}|}.
Calculo das somas por linha para |B|:
\begin{aligned} \text{linha 1: }& \frac{1+4+2}{2} = \frac{7}{2} = 3{,}5,\\[3pt] \text{linha 2: }& \frac{3+2+1}{4} = \frac{6}{4} = 1{,}5,\\[3pt] \text{linha 3: }& \frac{3+5+4}{2} = \frac{12}{2} = 6,\\[3pt] \text{linha 4: }& \frac{2+3+2}{4} = \frac{7}{4} = 1{,}75. \end{aligned}
A norma infinito de B é o máximo dessas somas:
\|B\|_\infty = 3{,}5\quad(\text{o maior valor é da linha 1}).é
Como \|B\|_\infty = 3{,}5 > 1, a iteração de Jacobi não é um mapeamento contractivo nessa norma, o que indica divergência (ou pelo menos falta de garantia de convergência). Isso é compatível com os resultados numéricos que vimos nas iterações: os valores cresceram.]

Passo 7

Interpretação final e conclusão didática (sintetizando o que você precisa saber para a prova):
  • O método de Jacobi exige atenção à convergência: se a matriz for estritamente diagonalmente dominante por linhas, Jacobi converge; se não for, pode divergir — e nesse exercício a matriz não é diagonalmente dominante.
  • Uma forma rápida de detectar problemas é calcular a norma infinito da matriz de iteração B (ou as somas das linhas de |B|). Se \|B\|_\infty\ge 1, Jacobi não é garantido convergir; aqui \|B\|_\infty=3{,}5>1.
  • Nos cálculos explícitos com chute inicial \mathbf{x}^{(0)}=(0,0,0,0) as iterações \mathbf{x}^{(1)} e \mathbf{x}^{(2)} já mostram crescimento dos valores, confirmando que Jacobi diverge neste caso.
  • Se a prova pedir “usar Jacobi” e a matriz não for adequada, faça exatamente o que eu fiz: escreva as fórmulas de iteração, mostre as primeiras iterações com um chute, verifique dominância e conclua sobre convergência; se Jacobi diverge, mencione alternativas (por exemplo, tentar permutar linhas/colunas para obter dominância, usar Gauss–Seidel ou métodos diretos como eliminação de Gauss).

Resposta

O método de Jacobi não converge para este sistema (diverge), pois a matriz não é estritamente diagonalmente dominante e a matriz de iteração tem norma infinito \|B\|_\infty=3{,}5>1.

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