Seja o problema de 4 equações e 4 incógnitas dado por:
\left(\begin{array}{cccc} 2 & 1 & 4 & -2 \\\\ -3 & 4 & 2 & -1 \\\\ 3 & 5 & -2 & 4 \\\\ -2 & 3 & 2 & 4 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \\\ x_{4} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 19 \\\\ 1 \\\\ 8 \\\\ 13 \end{array}\right)
Resolva o sistema de equações empregando:
O método de Gauss com ou sem pivoteamento

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear de 4 equações e 4 incógnitas, escrito na forma matricial:
\begin{pmatrix} 2 & 1 & 4 & -2\\[4pt] -3 & 4 & 2 & -1\\[4pt] 3 & 5 & -2 & 4\\[4pt] -2 & 3 & 2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\\[4pt]x_{4}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}19\\[4pt]1\\[4pt]8\\[4pt]13\end{pmatrix}.
O que se pede é: resolver esse sistema (encontrar x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}).
Informações relevantes fornecidas:
A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 4 & -2\\[4pt] -3 & 4 & 2 & -1\\[4pt] 3 & 5 & -2 & 4\\[4pt] -2 & 3 & 2 & 4 \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}19\\[4pt]1\\[4pt]8\\[4pt]13\end{pmatrix}.
A resolução pedida deve usar o método de Gauss (eliminação por operações elementares em linhas). A partir do próximo passo começamos a aplicar essas operações passo a passo.]

Passo 2

Breve lembrete didático sobre o método que vamos aplicar (sem resolver ainda): a eliminação de Gauss transforma o sistema em uma matriz triangular superior por operações elementares de linha. As operações permitidas que usaremos são:
\text{(1) trocar duas linhas},\qquad \text{(2) multiplicar uma linha por um escalar não nulo},\qquad \text{(3) somar a uma linha um múltiplo de outra}.ãú
Quando eliminamos uma coluna por baixo de um pivô a_{kk} usamos, para cada linha i>k, o fator
\lambda_{ik}=\frac{a_{ik}}{a_{kk}},
e fazemos R_{i}\leftarrow R_{i}-\lambda_{ik}R_{k}. Vamos executar isso passo a passo, registrando os fatores e as linhas resultantes. Vou sempre mostrar o vetor ampliado (A|\mathbf{b}) depois de cada etapa.

Passo 3

Eliminação na primeira coluna (pivot em a_{11}=2). Calculamos fatores e atualizamos as linhas R_{2},R_{3},R_{4}.
Fatores:
\lambda_{21}=\frac{a_{21}}{a_{11}}=\frac{-3}{2},\quad \lambda_{31}=\frac{a_{31}}{a_{11}}=\frac{3}{2},\quad \lambda_{41}=\frac{a_{41}}{a_{11}}=\frac{-2}{2}=-1.
Aplicando R_{i}\leftarrow R_{i}-\lambda_{i1}R_{1}:
Para R_{2}:
R_{2}\leftarrow R_{2}-\left(-\tfrac{3}{2}\right)R_{1}=R_{2}+\tfrac{3}{2}R_{1},
R_{2}:\;[-3,\,4,\,2,\,-1]\!+\!\tfrac{3}{2}[2,\,1,\,4,\,-2]=[0,\,\tfrac{11}{2},\,8,\,-4],
b_{2}:\;1+\tfrac{3}{2}\cdot 19=\tfrac{59}{2}.
Para R_{3}:
R_{3}\leftarrow R_{3}-\tfrac{3}{2}R_{1},
R_{3}:\;[3,\,5,\,-2,\,4]-\tfrac{3}{2}[2,\,1,\,4,\,-2]=[0,\,\tfrac{7}{2},\,-8,\,7],
b_{3}:\;8-\tfrac{3}{2}\cdot 19=-\tfrac{41}{2}.
Para R_{4}:
R_{4}\leftarrow R_{4}-(-1)R_{1}=R_{4}+R_{1},
R_{4}:\;[-2,\,3,\,2,\,4]+[2,\,1,\,4,\,-2]=[0,\,4,\,6,\,2],
b_{4}:\;13+19=32.
Matriz aumentada após o Passo 3:
\left(\begin{array}{cccc|c} 2 & 1 & 4 & -2 & 19\\[4pt] 0 & \tfrac{11}{2} & 8 & -4 & \tfrac{59}{2}\\[4pt] 0 & \tfrac{7}{2} & -8 & 7 & -\tfrac{41}{2}\\[4pt] 0 & 4 & 6 & 2 & 32 \end{array}\right).]

Passo 4

Eliminação na segunda coluna (pivot em a_{22}=\tfrac{11}{2}). Calculamos fatores para zerar as entradas nas linhas 3 e 4 na coluna 2.
Fatores:
\lambda_{32}=\frac{a_{32}}{a_{22}}=\frac{\tfrac{7}{2}}{\tfrac{11}{2}}=\frac{7}{11},\qquad \lambda_{42}=\frac{a_{42}}{a_{22}}=\frac{4}{\tfrac{11}{2}}=\frac{8}{11}.
Aplicando R_{i}\leftarrow R_{i}-\lambda_{i2}R_{2}:
Para R_{3}:
R_{3}\leftarrow R_{3}-\tfrac{7}{11}R_{2},
terceira coluna:
-8-\tfrac{7}{11}\cdot 8 = -8-\tfrac{56}{11} = -\tfrac{144}{11},
quarta coluna:
7-\tfrac{7}{11}\cdot(-4)=7+\tfrac{28}{11}=\tfrac{105}{11},
termo independente:
-\tfrac{41}{2}-\tfrac{7}{11}\cdot\tfrac{59}{2}=-\tfrac{451}{22}-\tfrac{413}{22}=-\tfrac{864}{22}=-\tfrac{432}{11}.
Logo R_{3}=[0,0,-\tfrac{144}{11},\tfrac{105}{11}] e b_{3}=-\tfrac{432}{11}.
Para R_{4}:
R_{4}\leftarrow R_{4}-\tfrac{8}{11}R_{2},
terceira coluna:
6-\tfrac{8}{11}\cdot 8=6-\tfrac{64}{11}=\tfrac{2}{11},
quarta coluna:
2-\tfrac{8}{11}\cdot(-4)=2+\tfrac{32}{11}=\tfrac{54}{11},
termo independente:
32-\tfrac{8}{11}\cdot\tfrac{59}{2}=32-\tfrac{236}{11}=\tfrac{352}{11}-\tfrac{236}{11}=\tfrac{116}{11}.
Logo R_{4}=[0,0,\tfrac{2}{11},\tfrac{54}{11}] e b_{4}=\tfrac{116}{11}.
Matriz aumentada após o Passo 4:
\left(\begin{array}{cccc|c} 2 & 1 & 4 & -2 & 19\\[4pt] 0 & \tfrac{11}{2} & 8 & -4 & \tfrac{59}{2}\\[4pt] 0 & 0 & -\tfrac{144}{11} & \tfrac{105}{11} & -\tfrac{432}{11}\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{2}{11} & \tfrac{54}{11} & \tfrac{116}{11} \end{array}\right).]

Passo 5

Eliminação na terceira coluna (pivot em a_{33}=-\tfrac{144}{11}). Precisamos zerar a entrada a_{43}=\tfrac{2}{11}.
Fator:
\lambda_{43}=\frac{a_{43}}{a_{33}}=\frac{\tfrac{2}{11}}{-\tfrac{144}{11}}=\frac{2}{-144}=-\tfrac{1}{72}.
Aplicando R_{4}\leftarrow R_{4}-\lambda_{43}R_{3}=R_{4}-\left(-\tfrac{1}{72}\right)R_{3}=R_{4}+\tfrac{1}{72}R_{3}.
Calculemos a nova quarta coluna e o termo independente:
quarta coluna:
\tfrac{54}{11}+\tfrac{1}{72}\cdot\tfrac{105}{11}=\tfrac{54}{11}+\tfrac{105}{792}=\tfrac{1296}{264}+\tfrac{35}{264}=\tfrac{1331}{264}=\tfrac{121}{24},
termo independente:
\tfrac{116}{11}+\tfrac{1}{72}\cdot\left(-\tfrac{432}{11}\right)=\tfrac{116}{11}-\tfrac{432}{792}=\tfrac{116}{11}-\tfrac{6}{11}= \tfrac{110}{11}=10.
A terceira coluna fica exatamente zero. Assim a matriz triangular final é:
\left(\begin{array}{cccc|c} 2 & 1 & 4 & -2 & 19\\[4pt] 0 & \tfrac{11}{2} & 8 & -4 & \tfrac{59}{2}\\[4pt] 0 & 0 & -\tfrac{144}{11} & \tfrac{105}{11} & -\tfrac{432}{11}\\[4pt] 0 & 0 & 0 & \tfrac{121}{24} & 10 \end{array}\right).
Agora a matriz está em forma triangular superior e podemos aplicar substituição regressiva (back-substitution).]

Passo 6

Resolver pela substituição regressiva: começamos por x_{4} usando a última equação:
\tfrac{121}{24}x_{4}=10.
Isolando x_{4}:
x_{4}=10\cdot \frac{24}{121}=\frac{240}{121}.

Passo 7

Agora x_{3} a partir da terceira equação:
-\tfrac{144}{11}x_{3}+\tfrac{105}{11}x_{4}=-\tfrac{432}{11}.
Multiplicando por 11 (para eliminar denominadores):
-144x_{3}+105x_{4}=-432.
Isolando x_{3}:
-144x_{3}=-432-105x_{4}\quad\Rightarrow\quad x_{3}=\frac{432+105x_{4}}{144}.
Substituindo x_{4}=\tfrac{240}{121}:
x_{3}=\frac{432+105\cdot \tfrac{240}{121}}{144} =\frac{\tfrac{432\cdot121}{121}+\tfrac{25200}{121}}{144} =\frac{\tfrac{52272+25200}{121}}{144} =\frac{77472}{121\cdot 144}.
Observação: 77472=144\cdot 538, logo
x_{3}=\frac{538}{121}.

Passo 8

Agora x_{2} pela segunda equação (usamos a equação multiplicada por 2 para eliminar frações):
\tfrac{11}{2}x_{2}+8x_{3}-4x_{4}=\tfrac{59}{2} \quad\Longrightarrow\quad 11x_{2}+16x_{3}-8x_{4}=59.
Isolando x_{2}:
11x_{2}=59-16x_{3}+8x_{4},
x_{2}=\frac{59-16x_{3}+8x_{4}}{11}.
Substituindo x_{3}=\tfrac{538}{121} e x_{4}=\tfrac{240}{121}:
59=\frac{59\cdot121}{121}=\frac{7139}{121},
59-16x_{3}+8x_{4}=\frac{7139}{121}-\frac{8608}{121}+\frac{1920}{121}=\frac{7139-8608+1920}{121}=\frac{451}{121}.
Então
x_{2}=\frac{\tfrac{451}{121}}{11}=\frac{451}{121\cdot 11}=\frac{451}{1331}.
Como 451=11\cdot 41 e 1331=11^{3}, simplifica-se:
x_{2}=\frac{41}{121}.

Passo 9

Finalmente x_{1} pela primeira equação:
2x_{1}+x_{2}+4x_{3}-2x_{4}=19.
Isolando x_{1}:
2x_{1}=19-x_{2}-4x_{3}+2x_{4},
x_{1}=\frac{19-x_{2}-4x_{3}+2x_{4}}{2}.
Substituindo x_{2}=\tfrac{41}{121}, x_{3}=\tfrac{538}{121}, x_{4}=\tfrac{240}{121}:
19=\frac{19\cdot121}{121}=\frac{2299}{121},
19-x_{2}-4x_{3}+2x_{4} =\frac{2299}{121}-\frac{41}{121}-\frac{2152}{121}+\frac{480}{121} =\frac{2299-41-2152+480}{121}=\frac{586}{121}.
Portanto
x_{1}=\frac{\tfrac{586}{121}}{2}=\frac{586}{242}=\frac{293}{121}.

Resposta

\displaystyle x_{1}=\frac{293}{121}
\displaystyle x_{2}=\frac{41}{121}
\displaystyle x_{3}=\frac{538}{121}
\displaystyle x_{4}=\frac{240}{121}

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