Exercício 7. Determine o polinômio P, de grau menor ou igual a 2, que passa por (0,1),(1,-1) e(4,1). Calcule P(3).

Passo 1

O enunciado dá três pontos e pede para encontrar um polinômio de grau menor ou igual a 2 que os contenha, e depois calcular o valor desse polinômio em x=3. Dados e pedidos:
  • Pontos fornecidos: (0,1),\\ (1,-1),\\ (4,1).
  • Pedido 1: determinar o polinômio P de grau \le 2 que passa por esses três pontos.
  • Pedido 2: calcular P(3).

Passo 2

Escolha do método: como se pede um polinômio de grau no máximo 2 e foram dados três pontos distintos, a abordagem direta mais simples é assumir a forma geral de um polinômio quadrático
P(x)=ax^{2}+bx+c,
com incógnitas a,b,c, e usar cada ponto para obter uma equação linear em a,b,c. Isso gera um sistema de três equações lineares que podemos resolver por substituição ou eliminação. Essa é a maneira mais direta para fazer à mão numa prova.

Passo 3

Explicando a forma geral e as incógnitas:
  • Em \displaystyle P(x)=ax^{2}+bx+c, a é o coeficiente do termo quadrático, b do termo linear e c o termo constante.
  • Para que o polinômio passe por (x_0,y_0) devemos ter \displaystyle P(x_0)=y_0. Vamos aplicar isso para os três pontos.

Passo 4

Substituindo o ponto (0,1) em \displaystyle P(x)=ax^{2}+bx+c obtemos a equação
P(0)=a\cdot 0^{2}+b\cdot 0+c=c=1.
Logo já encontramos imediatamente que \displaystyle c=1. (Explicação: o valor do polinômio em x=0 é exatamente o coeficiente constante.)

Passo 5

Substituindo o ponto (1,-1) obtemos
P(1)=a\cdot 1^{2}+b\cdot 1+c=a+b+c=-1.
Agora usamos \displaystyle c=1 e substituímos nessa equação para simplificar:
a+b+1=-1 \quad\Rightarrow\quad a+b=-2.
Essa é a primeira equação linear entre a e b.

Passo 6

Substituindo o ponto (4,1) obtemos
P(4)=a\cdot 4^{2}+b\cdot 4+c=16a+4b+c=1.
Usando \displaystyle c=1 novamente:
16a+4b+1=1 \quad\Rightarrow\quad 16a+4b=0.
Podemos simplificar dividindo por 4:
4a+b=0.

Passo 7

Agora temos o sistema linear em a e b:
\begin{cases} a+b=-2,\\[4pt] 4a+b=0. \end{cases}
Vamos resolver por eliminação: subtraindo a primeira equação da segunda:
(4a+b)-(a+b)=0-(-2)\quad\Rightarrow\quad 3a=2.
Portanto
a=\dfrac{2}{3}.]

Passo 8

Com a=\dfrac{2}{3} usamos qualquer das equações para achar b. Usando 4a+b=0:
4\cdot\dfrac{2}{3}+b=0 \quad\Rightarrow\quad \dfrac{8}{3}+b=0 \quad\Rightarrow\quad b=-\dfrac{8}{3}.

Passo 9

Já tínhamos c=1. Assim os coeficientes são
a=\dfrac{2}{3},\qquad b=-\dfrac{8}{3},\qquad c=1.
Escrevendo o polinômio:
P(x)=\dfrac{2}{3}x^{2}-\dfrac{8}{3}x+1.
(Observação didática: pode-se verificar substituindo x=0,1,4 que os valores coincidem com os pontos dados.)

Passo 10

Agora calculamos P(3). Substituindo x=3 em \displaystyle P(x)=\dfrac{2}{3}x^{2}-\dfrac{8}{3}x+1:
P(3)=\dfrac{2}{3}\cdot 3^{2}-\dfrac{8}{3}\cdot 3 +1.
Calcule passo a passo:
3^{2}=9,\quad \dfrac{2}{3}\cdot 9=\dfrac{18}{3}=6,
\dfrac{8}{3}\cdot 3=\dfrac{24}{3}=8.
Logo
P(3)=6-8+1=-1.

Resposta

\displaystyle P(x)=\dfrac{2}{3}x^{2}-\dfrac{8}{3}x+1
\displaystyle P(3)=-1

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