Exercício 7. Determine o polinômio
, de grau menor ou igual a 2, que passa por
. Calcule P(3).
Passo 1
O enunciado dá três pontos e pede para encontrar um polinômio de grau menor ou igual a 2 que os contenha, e depois calcular o valor desse polinômio em
. Dados e pedidos:
- Pontos fornecidos:
. - Pedido 1: determinar o polinômio
de grau que passa por esses três pontos. - Pedido 2: calcular
.
Passo 2
Escolha do método: como se pede um polinômio de grau no máximo 2 e foram dados três pontos distintos, a abordagem direta mais simples é assumir a forma geral de um polinômio quadrático
com incógnitas
, e usar cada ponto para obter uma equação linear em
. Isso gera um sistema de três equações lineares que podemos resolver por substituição ou eliminação. Essa é a maneira mais direta para fazer à mão numa prova.
Passo 3
Explicando a forma geral e as incógnitas:
- Em
, é o coeficiente do termo quadrático, do termo linear e o termo constante. - Para que o polinômio passe por
devemos ter . Vamos aplicar isso para os três pontos.
Passo 4
Substituindo o ponto
em
obtemos a equação
Logo já encontramos imediatamente que
. (Explicação: o valor do polinômio em
é exatamente o coeficiente constante.)
Passo 5
Substituindo o ponto
obtemos
Agora usamos
e substituímos nessa equação para simplificar:
Essa é a primeira equação linear entre
e
.
Passo 6
Substituindo o ponto
obtemos
Usando
novamente:
Podemos simplificar dividindo por
:
Passo 7
Agora temos o sistema linear em
e
:
Vamos resolver por eliminação: subtraindo a primeira equação da segunda:
Portanto
Passo 8
Com
usamos qualquer das equações para achar
. Usando
:
Passo 9
Já tínhamos
. Assim os coeficientes são
Escrevendo o polinômio:
(Observação didática: pode-se verificar substituindo
que os valores coincidem com os pontos dados.)
Passo 10
Agora calculamos
. Substituindo
em
:
Calcule passo a passo:
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