Exercício 1:
Usando o Método dos Mínimos Quadrados encontre a curva de cada uma das formas abaixo para os seguintes dados:
x
1
2
3
5
y
1,2
0,9
3,1
6,1
y=a x+b
Passo 1
O enunciado pede: encontrar, pelo Método dos Mínimos Quadrados, a reta da forma y = a x + b que melhor ajusta os pontos dados. Os pontos fornecidos são (peguei os dados da tabela do enunciado):
Portanto a pergunta é: determinar os coeficientes a e b da reta y=a x + b que minimiza o erro quadrático entre os y_i observados e os valores ajustados.
Passo 2
O princípio do Método dos Mínimos Quadrados é escolher a\) e \(b\) que minimizam a soma dos erros ao quadrado. Definimos a função objetivo
\[S(a,b)=\sum_{i=1}^{4}\bigl(y_i - (a x_i + b)\bigr)^2.
Aqui S(a,b) é a soma dos quadrados dos resíduos; x_i e y_i são os dados, a é a inclinação da reta e b é o intercepto. Para minimizar S tomamos derivadas parciais e igualamos a zero (condição de ótimos):
Interpretação final: a reta ajustada pelo Método dos Mínimos Quadrados é
y = a x + b
com os valores encontrados. Podemos confiar nesses valores porque seguimos as equações normais e a fórmula direta, que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos.