Exercício 1:
Usando o Método dos Mínimos Quadrados encontre a curva de cada uma das formas abaixo para os seguintes dados:
x 1 2 3 5
y 1,2 0,9 3,1 6,1
y=a x+b

Passo 1

O enunciado pede: encontrar, pelo Método dos Mínimos Quadrados, a reta da forma y = a x + b que melhor ajusta os pontos dados. Os pontos fornecidos são (peguei os dados da tabela do enunciado):
( x_1,y_1 ) = (1,\;1,2),\quad ( x_2,y_2 ) = (2,\;0,9),\quad ( x_3,y_3 ) = (3,\;3,1),\quad ( x_4,y_4 ) = (5,\;6,1).
Portanto a pergunta é: determinar os coeficientes a e b da reta y=a x + b que minimiza o erro quadrático entre os y_i observados e os valores ajustados.

Passo 2

O princípio do Método dos Mínimos Quadrados é escolher a\) e \(b\) que minimizam a soma dos erros ao quadrado. Definimos a função objetivo \[S(a,b)=\sum_{i=1}^{4}\bigl(y_i - (a x_i + b)\bigr)^2.
Aqui S(a,b) é a soma dos quadrados dos resíduos; x_i e y_i são os dados, a é a inclinação da reta e b é o intercepto. Para minimizar S tomamos derivadas parciais e igualamos a zero (condição de ótimos):
\frac{\partial S}{\partial a}=0,\qquad \frac{\partial S}{\partial b}=0.
Fazendo as derivadas e simplificando obtemos o sistema linear (as chamadas equações normais):
\begin{cases} a\displaystyle\sum x_i^2 + b\displaystyle\sum x_i = \displaystyle\sum x_i y_i,\\[6pt] a\displaystyle\sum x_i + b\,n = \displaystyle\sum y_i, \end{cases}
onde n\] é o número de pontos (\(n=4 aqui). Essas duas equações determinam a e b.]

Passo 3

Existe uma forma fechada direta para a e b que é prática para cálculo manual:
a=\frac{n\displaystyle\sum x_i y_i - \left(\displaystyle\sum x_i\right)\left(\displaystyle\sum y_i\right)} {n\displaystyle\sum x_i^2 - \left(\displaystyle\sum x_i\right)^2}, \qquad b=\frac{\displaystyle\sum y_i - a\displaystyle\sum x_i}{n}.
Vou calcular todas as somas necessárias passo a passo (cada número entre parênteses refere-se a um termo da soma):
  • n=4.
  • \displaystyle\sum x_i = 1 + 2 + 3 + 5 = 11. Escrevo em TeX:
\displaystyle\sum x_i = 11.
  • \displaystyle\sum y_i = 1,2 + 0,9 + 3,1 + 6,1. Faço as somas parciais: 1,2+0,9=2,1; 2,1+3,1=5,2; 5,2+6,1=11,3. Logo
\displaystyle\sum y_i = 11,3.
  • \displaystyle\sum x_i^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 5^2 = 1+4+9+25 = 39. Assim
\displaystyle\sum x_i^2 = 39.
  • \displaystyle\sum x_i y_i = 1\cdot 1,2 + 2\cdot 0,9 + 3\cdot 3,1 + 5\cdot 6,1.
    Calculo termo a termo: 1\cdot1,2=1,2; 2\cdot0,9=1,8; 3\cdot3,1=9,3; 5\cdot6,1=30,5.
    Somando: 1,2+1,8=3,0; 3,0+9,3=12,3; 12,3+30,5=42,8.
    Portanto
\displaystyle\sum x_i y_i = 42,8.
Tenho então todos os termos para aplicar a fórmula direta.

Passo 4

Agora uso a fórmula para a:
a=\frac{n\displaystyle\sum x_i y_i - \left(\displaystyle\sum x_i\right)\left(\displaystyle\sum y_i\right)} {n\displaystyle\sum x_i^2 - \left(\displaystyle\sum x_i\right)^2}.
Substituo os valores numéricos (mostrando cada parte):
\text{numerador} = 4\cdot 42,8 - 11\cdot 11,3.
Calculo:
4\cdot 42,8 = 171,2,\qquad 11\cdot 11,3 = 124,3,
então
\text{numerador} = 171,2 - 124,3 = 46,9.
Agora o denominador:
\text{denominador} = 4\cdot 39 - 11^2 = 156 - 121 = 35.
Logo
a = \frac{46,9}{35}.
Faço a divisão: 46,9\div 35 = 1,34 (porque 35\cdot1,34 = 35 + 11,9 = 46,9). Portanto
a = 1,34.

Passo 5

Com a encontrado uso a fórmula para b:
b=\frac{\displaystyle\sum y_i - a\displaystyle\sum x_i}{n}.
Substituo os valores:
b=\frac{11,3 - 1,34\cdot 11}{4}.
Calculo 1,34\cdot 11 = 14,74? Vou calcular com cuidado: 1,34\cdot 10=13,4 e 1,34\cdot 1=1,34; somando 13,4+1,34=14,74. Então
b=\frac{11,3 - 14,74}{4} = \frac{-3,44}{4} = -0,86.
Portanto
b = -0,86.

Passo 6

Interpretação final: a reta ajustada pelo Método dos Mínimos Quadrados é
y = a x + b
com os valores encontrados. Podemos confiar nesses valores porque seguimos as equações normais e a fórmula direta, que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos.

Resposta

y = 1,34\,x - 0,86

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