Nos exercícios abaixo, use o teste do n-ésimo termo para divergência, para mostrar que a série é divergente ou afirmar que o teste não é conclusivo. (Teste da Divergência)
Passo 1
O enunciado nos dá a série
e pede que a gente use o teste do n-ésimo termo (teste da divergência) para 1) mostrar que a série é divergente OU 2) afirmar que o teste não é conclusivo.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- O termo geral da série é
. - O objetivo imediato é analisar
e aplicar o teste do n-ésimo termo.
Passo 2
Vamos enunciar claramente o teste do n-ésimo termo (teste da divergência) — é importante entender isso direito, pois é simples mas frequentemente mal usado.
O teste diz:
- Aqui
é o termo geral da série. - Se
, o teste NÃO garante convergência — nesse caso o teste é inconclusivo (pode convergir ou divergir, não diz qual).
Em resumo: o teste só pode provar divergência quando o limite do termo geral não é zero; se der zero, precisamos de outro teste para decidir.
Passo 3
Calcular
para
.
Uma forma limpa é dividir numerador e denominador por
:
Agora tomamos o limite quando
. Sabemos que
e
. Portanto
Logo
Passo 4
Aplicando o teste do n-ésimo termo: como
, o teste é inconclusivo — ele não permite afirmar que a série converge nem provar que diverge. Então, somente com esse teste, a conclusão é: teste não conclusivo.
Mas isso não responde a pergunta prática “a série converge ou diverge?” — só diz que precisamos de outro método para descobrir isso.
Passo 5
Vamos então determinar de fato se a série converge ou diverge, usando um teste simples e elementar (comparação com a série harmônica). Este passo não faz parte do teste do n-ésimo termo, mas é útil para chegar à resposta final.
Para
temos
, portanto
e assim
Como o denominador é menor ou igual a
, o quociente é maior ou igual a
Logo, para
temos
.
Sabemos que a série harmônica
diverge. Como
também diverge, e temos
para
, pelo teste da comparação direta a série
diverge. Acrescentar ou remover um número finito de termos (o termo
) não altera a divergência, portanto a série original
também diverge.
Resposta
O teste do n-ésimo termo é inconclusivo (porque
).
Conclusão final: a série diverge.
Conclusão final: a série