Nos exercícios abaixo, use o teste do n-ésimo termo para divergência, para mostrar que a série é divergente ou afirmar que o teste não é conclusivo. (Teste da Divergência)
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^{2}+3}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^{2}+3}
e pede que a gente use o teste do n-ésimo termo (teste da divergência) para 1) mostrar que a série é divergente OU 2) afirmar que o teste não é conclusivo.
Informações relevantes fornecidas:
  • O termo geral da série é \displaystyle a_n=\frac{n}{n^{2}+3}.
  • O objetivo imediato é analisar \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n e aplicar o teste do n-ésimo termo.

Passo 2

Vamos enunciar claramente o teste do n-ésimo termo (teste da divergência) — é importante entender isso direito, pois é simples mas frequentemente mal usado.
O teste diz:
\text{Se } \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 \text{ então } \sum a_n \text{ diverge.}ã
  • Aqui a_n é o termo geral da série.
  • Se \lim_{n\to\infty} a_n = 0, o teste NÃO garante convergência — nesse caso o teste é inconclusivo (pode convergir ou divergir, não diz qual).
    Em resumo: o teste só pode provar divergência quando o limite do termo geral não é zero; se der zero, precisamos de outro teste para decidir.

Passo 3

Calcular \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n para a_n=\dfrac{n}{n^{2}+3}.
Uma forma limpa é dividir numerador e denominador por n^{2}:
\frac{n}{n^{2}+3} = \frac{\dfrac{n}{n^{2}}}{\dfrac{n^{2}}{n^{2}}+\dfrac{3}{n^{2}}} = \frac{\dfrac{1}{n}}{1+\dfrac{3}{n^{2}}}.
Agora tomamos o limite quando n\to\infty. Sabemos que \dfrac{1}{n}\to 0 e \dfrac{3}{n^{2}}\to 0. Portanto
\lim_{n\to\infty} \frac{\dfrac{1}{n}}{1+\dfrac{3}{n^{2}}} = \frac{0}{1+0} = 0.
Logo
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.

Passo 4

Aplicando o teste do n-ésimo termo: como \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = 0, o teste é inconclusivo — ele não permite afirmar que a série converge nem provar que diverge. Então, somente com esse teste, a conclusão é: teste não conclusivo.
Mas isso não responde a pergunta prática “a série converge ou diverge?” — só diz que precisamos de outro método para descobrir isso.

Passo 5

Vamos então determinar de fato se a série converge ou diverge, usando um teste simples e elementar (comparação com a série harmônica). Este passo não faz parte do teste do n-ésimo termo, mas é útil para chegar à resposta final.
Para n\ge 2 temos n^{2}\ge 4, portanto 3\le n^{2} e assim
n^{2}+3 \le n^{2}+n^{2} = 2n^{2}.
Como o denominador é menor ou igual a 2n^{2}, o quociente é maior ou igual a
\frac{n}{n^{2}+3} \ge \frac{n}{2n^{2}} = \frac{1}{2n},\qquad \text{para } n\ge 2.
Logo, para n\ge 2 temos a_n \ge \dfrac{1}{2n}.
Sabemos que a série harmônica \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} diverge. Como \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{2n} = \frac{1}{2}\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n} também diverge, e temos a_n \ge \dfrac{1}{2n} para n\ge 2, pelo teste da comparação direta a série
\sum_{n=2}^{\infty} a_n = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n}{n^{2}+3}
diverge. Acrescentar ou remover um número finito de termos (o termo n=1) não altera a divergência, portanto a série original
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^{2}+3}
também diverge.

Resposta

O teste do n-ésimo termo é inconclusivo (porque \lim_{n\to\infty} \dfrac{n}{n^{2}+3}=0).
Conclusão final: a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{n}{n^{2}+3} diverge.

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