Nos seguintes exercícios, encontre uma fórmula para a
-ésima soma parcial da série, e use-a para determinar se a série converge ou diverge. Se a série converge, encontre a soma. (Séries Telescópicas)
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede duas coisas:
- Encontrar uma fórmula para a
-ésima soma parcial (ou seja, para do termo geral). - Usar essa fórmula para decidir se a série converge ou diverge; se convergir, achar a soma.
Informações relevantes fornecidas:
- O termo geral é
. - A soma parcial que queremos é
.
Passo 2
Defino a
-ésima soma parcial e fatoro o
que é comum em cada termo. Isso organiza a conta e deixa a telescopia evidente.
Aqui
representa a soma dos primeiros
termos da série. A ideia é ver como os termos internos se cancelam quando expandimos a soma.
Passo 3
Mostro a telescopia expandindo os primeiros termos da soma interior para ver o cancelamento:
Nessa soma as parcelas internas se cancelam em cadeia:
cancela com
,
cancela com
, e assim por diante, sobrando apenas os extremos. Portanto
Passo 4
Voltando ao
com o fator
:
Essa é a fórmula explícita da
-ésima soma parcial pedida. Note que ela é uma expressão simples em função de
e que fica fácil analisar o comportamento quando
.
Passo 5
Agora calculo o limite de
quando
para decidir convergência e achar a soma. Sabendo que
segue
Como o limite das somas parciais existe e é finito, a série converge, e sua soma é
.