Nos seguintes exercícios, encontre uma fórmula para a n-ésima soma parcial da série, e use-a para determinar se a série converge ou diverge. Se a série converge, encontre a soma. (Séries Telescópicas)
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3}{n^{2}}-\frac{3}{(n+1)^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3}{n^{2}}-\frac{3}{(n+1)^{2}}\right)
e pede duas coisas:
  • Encontrar uma fórmula para a n-ésima soma parcial (ou seja, para S_N=\sum_{n=1}^{N} do termo geral).
  • Usar essa fórmula para decidir se a série converge ou diverge; se convergir, achar a soma.
Informações relevantes fornecidas:
  • O termo geral é \dfrac{3}{n^{2}}-\dfrac{3}{(n+1)^{2}}.
  • A soma parcial que queremos é S_N=\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\left(\dfrac{3}{n^{2}}-\dfrac{3}{(n+1)^{2}}\right).

Passo 2

Defino a N-ésima soma parcial e fatoro o 3 que é comum em cada termo. Isso organiza a conta e deixa a telescopia evidente.
S_N=\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{3}{n^{2}}-\frac{3}{(n+1)^{2}}\right)
S_N=3\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{n^{2}}-\frac{1}{(n+1)^{2}}\right)
Aqui S_N representa a soma dos primeiros N termos da série. A ideia é ver como os termos internos se cancelam quando expandimos a soma.

Passo 3

Mostro a telescopia expandindo os primeiros termos da soma interior para ver o cancelamento:
\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{n^{2}}-\frac{1}{(n+1)^{2}}\right) = \left(\frac{1}{1^{2}}-\frac{1}{2^{2}}\right) +\left(\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{3^{2}}\right) +\left(\frac{1}{3^{2}}-\frac{1}{4^{2}}\right) +\cdots +\left(\frac{1}{N^{2}}-\frac{1}{(N+1)^{2}}\right).
Nessa soma as parcelas internas se cancelam em cadeia: -\dfrac{1}{2^{2}} cancela com +\dfrac{1}{2^{2}}, -\dfrac{1}{3^{2}} cancela com +\dfrac{1}{3^{2}}, e assim por diante, sobrando apenas os extremos. Portanto
\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{n^{2}}-\frac{1}{(n+1)^{2}}\right)=\frac{1}{1^{2}}-\frac{1}{(N+1)^{2}}=1-\frac{1}{(N+1)^{2}}.

Passo 4

Voltando ao S_N com o fator 3:
S_N=3\left(1-\frac{1}{(N+1)^{2}}\right).
Essa é a fórmula explícita da N-ésima soma parcial pedida. Note que ela é uma expressão simples em função de N e que fica fácil analisar o comportamento quando N\to\infty.

Passo 5

Agora calculo o limite de S_N quando N\to\infty para decidir convergência e achar a soma. Sabendo que
\lim_{N\to\infty}\frac{1}{(N+1)^{2}}=0,
segue
\lim_{N\to\infty}S_N=\lim_{N\to\infty}3\left(1-\frac{1}{(N+1)^{2}}\right)=3(1-0)=3.
Como o limite das somas parciais existe e é finito, a série converge, e sua soma é 3.

Resposta

S_N=3\left(1-\frac{1}{(N+1)^{2}}\right)
\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3}{n^{2}}-\frac{3}{(n+1)^{2}}\right)=3

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