Exercite três interações completas para encontrar a raiz da função f(x)= x^{3}-3 x^{2}-6 x+8 considerando o intervalo [-4-0,5] usando o método de Newton. Justifique se o intervalo é válido ou não, e se o método pode ser utilizado.

Passo 1

O enunciado pede a aproximação da raiz de
f(x)=x^3-3x^2-6x+8
no intervalo [-4,-0,5] usando o método de Newton.
Para isso precisamos de f'(x) e da fórmula de Newton
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}

Passo 2

Verificamos a existência de raiz em [-4,-0,5] pelo Teorema de Bolzano:
f(-4)=(-4)^3-3(-4)^2-6(-4)+8=-80
f(-0,5)=(-0,5)^3-3(-0,5)^2-6(-0,5)+8=10,125
Como f(-4)\cdot f(-0,5)<0, há pelo menos uma raiz nesse intervalo (é única em [-4,-0,5] pois o outro ponto crítico de f' está fora ou dá raiz repetida).
Para aplicar Newton precisamos de
f'(x)=3x^2-6x-6
e garantir f' contínua e f'(x_0)\neq0. Embora f'(x) zere em x\approx-0,732, podemos escolher um chute inicial x_0 onde f'(x_0)\neq0.

Passo 3

Escolhemos como chute inicial o extremo esquerdo do intervalo:
x_0=-4
Então
f(x_0)=-80,\quad f'(x_0)=3\cdot(-4)^2-6\cdot(-4)-6=66.

Passo 4

Primeira iteração:
x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} = -4 - \frac{-80}{66} = -4 + 1,21212 = -2,78788.

Passo 5

Segunda iteração: calculemos
f(x_1)\approx -20,2655,\quad f'(x_1)\approx 34,0481,
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x_2 = x_1 - \frac{f(x_1)}{f'(x_1)} = -2,78788 - \frac{-20,2655}{34,0481} = -2,78788 + 0,59551 = -2,19237.

Passo 6

Terceira iteração:
f(x_2)\approx -3,8212,\quad f'(x_2)\approx 21,5801,
então
x_3 = x_2 - \frac{f(x_2)}{f'(x_2)} = -2,19237 - \frac{-3,8212}{21,5801} = -2,19237 + 0,17711 = -2,01526.

Resposta

Após três iterações pelo método de Newton com x_0=-4, obtemos
x_3\approx -2,0153.
O intervalo é válido para garantir existência de raiz (Bolzano) e o método pôde ser aplicado porque escolhemos x_0 com f'(x_0)\neq0.

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