Calcule a integral da função f(x)=\cos (x) no intervalo de -\pi / 2 a \pi / 2. Use o método 3 / 8 de Simpson composto com pelo menos 2 intervalos e calcule o erro relativo.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos(x)\,\mathrm{d}x
usando o método composto de Simpson 3/8 com pelo menos dois blocos (cada bloco usa 3 subintervalos) e, em seguida, calcular o erro relativo. Vamos precisar dividir o intervalo em m subintervalos, com m múltiplo de 3, aplicar a fórmula de Simpson 3/8 em cada bloco de três subintervalos e comparar com o valor exato da integral.

Passo 2

Escolhemos o menor m\ge3 que seja múltiplo de 3 e dê pelo menos dois blocos: m=6. Assim
h=\frac{b-a}{m}=\frac{\pi/2-(-\pi/2)}{6}=\frac{\pi}{6}.
Os pontos são
x_i=-\frac{\pi}{2}+i\,h,\quad i=0,1,\dots,6,
isto é -\tfrac{\pi}{2}, -\tfrac{\pi}{3}, -\tfrac{\pi}{6}, 0, \tfrac{\pi}{6}, \tfrac{\pi}{3}, \tfrac{\pi}{2}.

Passo 3

Aplicamos Simpson 3/8 no primeiro bloco [x_0,x_3]=[-\pi/2,0]:
I_1\approx\frac{3h}{8}\bigl[f(x_0)+3f(x_1)+3f(x_2)+f(x_3)\bigr].
Como
f(x_0)=\cos\bigl(-\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0,\; f(x_1)=\tfrac12,\; f(x_2)=\tfrac{\sqrt3}{2},\; f(x_3)=1,
vem
I_1=\frac{3(\pi/6)}{8}\Bigl(0+3\cdot\tfrac12+3\cdot\tfrac{\sqrt3}{2}+1\Bigr) =\frac{\pi}{16}\Bigl(\tfrac{5}{2}+\tfrac{3\sqrt3}{2}\Bigr) =\frac{\pi}{32}(5+3\sqrt3).

Passo 4

No segundo bloco [x_3,x_6]=[0,\pi/2] temos pontos espelhados, então
f(x_3)=1,\; f(x_4)=\tfrac{\sqrt3}{2},\; f(x_5)=\tfrac12,\; f(x_6)=0
e
I_2=\frac{3h}{8}\bigl[1+3\tfrac{\sqrt3}{2}+3\tfrac12+0\bigr] =\frac{\pi}{32}(5+3\sqrt3).

Passo 5

Somando os dois blocos, o valor aproximado é
I\approx I_1+I_2 =2\cdot\frac{\pi}{32}(5+3\sqrt3) =\frac{\pi}{16}(5+3\sqrt3)\approx2{,}00229.

Passo 6

O valor exato da integral é
\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos(x)\,\mathrm{d}x =\bigl[\sin(x)\bigr]_{-\pi/2}^{\pi/2} =1-(-1)=2.
O erro absoluto é
|2{,}00229-2|=0{,}00229
e o erro relativo é
\frac{0{,}00229}{2}\approx0{,}001145\approx0{,}1145\%.

Resposta

Valor aproximado pela regra composta de Simpson 3/8:
2{,}00229,
erro relativo de aproximadamente 0{,}1145\%.

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