Calcule a integral da função f(x)=\operatorname{sen}(x) no intervalo de 0 a \pi. Use 0 método 3 / 8 de Simpson composto com pelo menos 2 subintervalos e calcule o erro relativo.

Passo 1

O enunciado pede aproximar
\int_{0}^{\pi}\sin(x)\,dx
usando a regra composta de Simpson 3/8 com pelo menos duas aplicações do bloco de três subintervalos e, em seguida, calcular o erro relativo. O conteúdo necessário é quadratura numérica, em particular a regra composta de Simpson 3/8, e a definição de erro relativo.

Passo 2

Antes de tudo, calculemos o valor exato da integral. Como
\int \sin(x)\,dx = -\cos(x),
temos
\int_{0}^{\pi}\sin(x)\,dx = \bigl[-\cos(x)\bigr]_{0}^{\pi} = \bigl(-\cos(\pi)\bigr)-\bigl(-\cos(0)\bigr) = \bigl(-(-1)\bigr)-\bigl(-1\bigr) = 2.

Passo 3

A regra composta de Simpson 3/8 exige que o número de subintervalos n seja múltiplo de 3. Para fazermos duas aplicações do bloco de três subintervalos, escolhemos n=6. Assim, o passo de integração é
h = \frac{\pi-0}{6} = \frac{\pi}{6},
e os nós são
x_i = i\,h = i\;\frac{\pi}{6},\quad i=0,1,\dots,6.

Passo 4

Avaliamo-s \sin(x_i) em cada n’o:
\begin{aligned} f_0 &= \sin(0) = 0,\\\ f_1 &= \sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr) = \tfrac{1}{2},\\\ f_2 &= \sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr) = \tfrac{\sqrt{3}}{2},\\\ f_3 &= \sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = 1,\\\ f_4 &= \sin\!\bigl(\tfrac{2\pi}{3}\bigr) = \tfrac{\sqrt{3}}{2},\\\ f_5 &= \sin\!\bigl(\tfrac{5\pi}{6}\bigr) = \tfrac{1}{2},\\\ f_6 &= \sin(\pi) = 0. \end{aligned}

Passo 5

A fórmula composta de Simpson 3/8 é
\int_{0}^{\pi}f(x)\,dx \approx \frac{3h}{8}\Bigl(f_0 + f_6 \;+\;3(f_1+f_2+f_4+f_5)\;+\;2\,f_3\Bigr).
Substituindo h=\tfrac{\pi}{6} e os valores de f_i:
f_0+f_6 = 0,\quad 3(f_1+f_2+f_4+f_5) =3\bigl(\tfrac12+\tfrac{\sqrt3}{2}+\tfrac{\sqrt3}{2}+\tfrac12\bigr) =3\bigl(2{,}732\ldots\bigr)=8{,}196\ldots,
2\,f_3 = 2\cdot1 =2.
Logo,
\tilde I = \frac{3(\pi/6)}{8}\bigl(0 + 8{,}196 + 2\bigr) = \frac{\pi}{16}\times10{,}196\ldots \approx 2{,}002.

Passo 6

O erro relativo é dado por
\text{ER} = \frac{\bigl|\tilde I - I_{\text{exato}}\bigr|}{I_{\text{exato}}} = \frac{\bigl|2{,}002 - 2\bigr|}{2} = \frac{0{,}002}{2} = 0{,}001.

Resposta

Aproximação pela regra composta de Simpson 3/8: \displaystyle 2{,}002.
Erro relativo: \displaystyle 0{,}001 (ou 0{,}1\%).

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