Uma expedição brasileira foi na região amazônica e mediu o calor específico da água em função da temperatura, conforme mostra a tabela abaixo. Baseando-se na tabela, pede-se:
Calcular o calor específico da água, a uma temperatura de 25^circ C, usando para isso um polinômio de 2^circ grau e 5 casas decimais e também cada um dos métodos listados abaixo:
a. Solução por sistema linear.
b. Solução por Lagrange.
c. Solução por Newton.
d. Achar qual é o melhor resultado, sabendo-se que o valor real é 0,99852 .
Temperatura ( ^circ C) Calor específico
20 0,99807
30 0,99826
45 0,99849
55 0,99919

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma tabelinha de calor específico da água em função da temperatura e pede pra estimar o valor em (20,0,99807),;(30,0,99826),;(45,0,99849) C usando um polinômio de grau 2 (com 5 casas decimais) por três métodos diferentes:
  • Resolver o sistema linear (montar e eliminar – forma “Vandermonde”).
  • Usar o polinômio de Lagrange.
  • Usar o polinômio na forma de Newton (diferenças divididas).
    No fim a gente compara com o valor real e vê qual ficou mais próximo. Como são polinômios de grau 2, vamos usar três pontos próximos de 25°C:
Pra resolver, só precisa saber álgebra linear básica (resolver 3×3) e as fórmulas de Lagrange e Newton.

Passo 2

  1. Assumimos p(x) = a,x^2 + b,x + c
  2. Montamos o sistema usando os três pontos: 400,a + 20,b + c = 0,99807,[6pt] 900,a + 30,b + c = 0,99826,[6pt] 2025,a + 45,b + c = 0,99849
  3. Subtraindo a primeira das outras duas, achamos 500,a + 10,b = 0,00019, 1125,a + 15,b = 0,00023, que leva a a = -1,46667times10^-7, b = 2,63334times10^-5, c = 0,99760200
  4. Avaliando p(25) = a,(25)^2 + b,(25) + c approx 0,99817 :

Passo 3

A forma de Lagrange diz
p(x)=sumi=0^2 yi,elli(x),
onde, para ell0(x)=(x-30)(x-45)(20-30)(20-45), ell1(x)=(x-20)(x-45)(30-20)(30-45), ell2(x)=(x-20)(x-30)(45-20)(45-30) :
p(25) =0,99807cdot0,4 +0,99826cdot0,666667 +0,99849cdot(-0,066667) approx 0,99817
Plugando e os , dá

Passo 4

  1. Montamos a tabela de diferenças divididas para f[x0]=0,99807, f[x0,x1]=0,99826-0,9980730-20=1,9times10^-5, f[x1,x2]=0,99849-0,9982645-30=1,53333times10^-5, .
  2. Ficamos com f[x0,x1,x2] =1,53333times10^-5-1,9times10^-545-20 =-1,46667times10^-7 e p(x) =f[x0] +f[x0,x1],(x-20) +f[x0,x1,x2],(x-20)(x-30)
  3. O polinômio é p(25)approx0,99817 Avaliando em dá de novo

Passo 5

O valor real é |0,99817 - 0,99852| = 3,5times10^-4 . Nosso tem erro
Como todos os três métodos geram o mesmo polinômio interpolador, todos têm o mesmo erro.

Resposta

O valor estimado em boxed0,99817 C é
para os três métodos, com erro de .

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