Uma expedição brasileira foi na região amazônica e mediu o calor específico da água em função da temperatura, conforme mostra a tabela abaixo. Baseando-se na tabela, pede-se:
Calcular o calor específico da água, a uma temperatura de , usando para isso um polinômio de grau e 5 casas decimais e também cada um dos métodos listados abaixo:
a. Solução por sistema linear.
b. Solução por Lagrange.
c. Solução por Newton.
d. Achar qual é o melhor resultado, sabendo-se que o valor real é 0,99852 .
Temperatura
Calor específico
20
0,99807
30
0,99826
45
0,99849
55
0,99919
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma tabelinha de calor específico da água em função da temperatura e pede pra estimar o valor em C usando um polinômio de grau 2 (com 5 casas decimais) por três métodos diferentes:
Resolver o sistema linear (montar e eliminar – forma “Vandermonde”).
Usar o polinômio de Lagrange.
Usar o polinômio na forma de Newton (diferenças divididas).
No fim a gente compara com o valor real e vê qual ficou mais próximo. Como são polinômios de grau 2, vamos usar três pontos próximos de 25°C:
Pra resolver, só precisa saber álgebra linear básica (resolver 3×3) e as fórmulas de Lagrange e Newton.
Passo 2
Assumimos
Montamos o sistema usando os três pontos:
Subtraindo a primeira das outras duas, achamos 500,a + 10,b = 0,00019, 1125,a + 15,b = 0,00023, que leva a a = -1,46667times10^-7, b = 2,63334times10^-5, c = 0,99760200
Montamos a tabela de diferenças divididas para f[x0]=0,99807, f[x0,x1]=0,99826-0,9980730-20=1,9times10^-5, f[x1,x2]=0,99849-0,9982645-30=1,53333times10^-5, .
Ficamos com f[x0,x1,x2] =1,53333times10^-5-1,9times10^-545-20 =-1,46667times10^-7 e p(x) =f[x0] +f[x0,x1],(x-20) +f[x0,x1,x2],(x-20)(x-30)
O polinômio é p(25)approx0,99817 Avaliando em dá de novo
Passo 5
O valor real é |0,99817 - 0,99852| = 3,5times10^-4 . Nosso tem erro
Como todos os três métodos geram o mesmo polinômio interpolador, todos têm o mesmo erro.