Um experimento com um circuito RC é usado para determinar a capacitância de um dado capacitor. No circuito, um resistor é ligado em série com um capacitor e uma bateria, de modo que os dados medidos no experimento são dados pela seguinte tabela,
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2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 |
---|---|---|---|---|---|---|
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4,41 | 1,62 | 0,6 | 0,22 | 0,08 | 0,03 |
teoricamente, a tensão (em função do tempo) no resistor é dada por,
i) encontrar a função que melhor ajusta os dados;
ii) determinar a capacitância (do capacitor), considerando .
ii) determinar a capacitância (do capacitor), considerando
Passo 1
Beleza! Temos um circuito RC (resistor em série com capacitor) e medimos a tensão no resistor em vários instantes. A teoria diz que
O que a questão pede é:
1) Achar a função que melhor se ajusta aos dados (ou seja, estimar
2) Com
Para resolver isso, vamos usar a ideia de linearizar a exponencial (tomando logaritmo) e fazer um ajuste de mínimos quadrados (regressão linear).
Passo 2
Primeiro, linearizamos:
Se chamarmos
a gente tem uma reta
onde
Passo 3
Agora, montamos a tabela com
,
e
:
t(s): 2, 4, 6, 8, 10, 12
V_r(V):4,41;1,62;0,6;0,22;0,08;0,03
y = ln(V_r):
t(s): 2, 4, 6, 8, 10, 12
V_r(V):4,41;1,62;0,6;0,22;0,08;0,03
y = ln(V_r):
Passo 4
Calculamos as somas necessárias para mínimos quadrados (com
):
A inclinação
e o intercepto
são dados por
Substituindo:
Passo 5
Voltando às variáveis originais:
Logo a função ajustada é
Passo 6
Para achar
, usamos
e
:
Resposta
Função ajustada:
Capacitância: