Um experimento com um circuito RC é usado para determinar a capacitância de um dado capacitor. No circuito, um resistor é ligado em série com um capacitor e uma bateria, de modo que os dados medidos no experimento são dados pela seguinte tabela,
t(s) 2 4 6 8 10 12
Vr(V) 4,41 1,62 0,6 0,22 0,08 0,03
teoricamente, a tensão (em função do tempo) no resistor é dada por,
Vr=V e^-t / R C
i) encontrar a função que melhor ajusta os dados;
ii) determinar a capacitância (do capacitor), considerando R=5 Omega.

Passo 1

Beleza! Temos um circuito RC (resistor em série com capacitor) e medimos a tensão no resistor em vários instantes. A teoria diz que
Vr(t) = V,e^-t/(RC),
O que a questão pede é:
1) Achar a função que melhor se ajusta aos dados (ou seja, estimar e o expoente ).
2) Com , descobrir a capacitância .
Para resolver isso, vamos usar a ideia de linearizar a exponencial (tomando logaritmo) e fazer um ajuste de mínimos quadrados (regressão linear).

Passo 2

Primeiro, linearizamos:
Vr = V,e^-t/(RC)Longrightarrow ln Vr = ln V - tRC,
Se chamarmos
x = t, y = ln Vr,
a gente tem uma reta
y = b + m,x,
onde e .

Passo 3

Agora, montamos a tabela com ln(4,41)&approx 1,486, ln(1,62)&approx 0,482, ln(0,6) &approx -0,511, ln(0,22)&approx -1,514, ln(0,08)&approx -2,526, ln(0,03)&approx -3,507 , e :
t(s): 2, 4, 6, 8, 10, 12
V_r(V):4,41;1,62;0,6;0,22;0,08;0,03
y = ln(V_r):

Passo 4

Calculamos as somas necessárias para mínimos quadrados (com sum xi = 42, sum yi approx -6,09, sum xi^2 = 364, sum xi yi approx -77,62 ):
m = nsum xi yi - (sum xi)(sum yi)nsum xi^2 - (sum xi)^2, b = sum yi - m,sum xin
A inclinação m approx 6(-77,62)-42(-6,09)6cdot364 - 42^2 = -0,50, b approx -6,09 - (-0,50)cdot426 = 2,485 e o intercepto são dados por
Substituindo:

Passo 5

Voltando às variáveis originais:
m = -1RC = -0,50 Longrightarrow 1RC = 0,50,
b = ln V = 2,485 Longrightarrow V = e^2,485 approx 12,0 V
Logo a função ajustada é
boxedVr(t) = 12,0,e^-0,50,t

Passo 6

Para achar 15,C = 0,50 Longrightarrow C = 15times0,50 = 0,40 F , usamos e :

Resposta

Função ajustada:
Vr(t) = 12,0,e^-0,50,t
Capacitância:
C = 0,40 F

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