Aproxime a seguinte função
h(x)=sumn=0^infty(-1)^n x^nn!+sumn=0^infty x^nn!
no intervalo de [-pi ; pi].

Passo 1

Beleza, o enunciado manda “aproximar” a função
h(x)=sumn=0^infty(-1)^nx^nn! ;+;sumn=0^inftyx^nn!
no intervalo . Isso é sobre séries de potências (ou séries de Taylor) e como reconhecer funções conhecidas nessas somas infinitas. Para resolver, vamos usar o fato de que

e que mudar sinal em .

Passo 2

Observe a segunda soma:
sumn=0^infty x^nn! ;=; e^x .
Pelo desenvolvimento de Taylor da exponencial, a gente sabe que

Passo 3

Agora a primeira soma:
sumn=0^infty (-x)^nn!, .
Repare que isso é o mesmo que
sumn=0^infty(-1)^nx^nn! ;=; e^-x
ou seja, é só a série da exponencial avaliada em . Logo

Passo 4

Somando os dois resultados, temos
h(x) = e^-x + e^x
Em teoria de funções hiperbólicas, isso é exatamente
2cosh(x),
pois .

Resposta

A aproximação (na verdade, a forma fechada) da série para todo boxedh(x)=e^x + e^-x = 2cosh(x) é

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