Aproxime a seguinte função
no intervalo de
.
Passo 1
Beleza, o enunciado manda “aproximar” a função
no intervalo
. Isso é sobre séries de potências (ou séries de Taylor) e como reconhecer funções conhecidas nessas somas infinitas. Para resolver, vamos usar o fato de que
e que mudar sinal em dá
.
e que mudar sinal em
Passo 2
Observe a segunda soma:
.
Pelo desenvolvimento de Taylor da exponencial, a gente sabe que
Pelo desenvolvimento de Taylor da exponencial, a gente sabe que
Passo 3
Agora a primeira soma:
.
Repare que isso é o mesmo que
Repare que isso é o mesmo que
ou seja, é só a série da exponencial avaliada em
. Logo
Passo 4
Somando os dois resultados, temos
Em teoria de funções hiperbólicas, isso é exatamente
pois
.
Resposta
A aproximação (na verdade, a forma fechada) da série para todo
é