Os seguintes dados mostram a relação entre a viscosidade de um determinado óleo e a temperatura. Use regressão não linear para ajustar uma equação de potência para esses dados,
T 26,67 93,33 148,89 315,56
mu 1,35 0,085 0,012 0,00075
onde mu representa a viscosidade e T a temperatura.

Passo 1

O enunciado diz que temos quatro pares de pontos de temperatura mu = a,T^b e viscosidade , e queremos ajustar uma equação do tipo
usando regressão não linear (ou seja, encontrar e que “melhor” se encaixam nos dados).
Conteúdo: regressão de potência via transformação logarítmica.
O que vamos precisar:
  • Entender que tomando logaritmo dos dois lados a gente transforma numa reta.
  • Calcular somas, médias, coeficientes de regressão linear.
  • Voltar do log para a forma original.

Passo 2

Primeiro passo “técnico” é ver que, se
mu = a,T^b,,
então aplicando ln em ambos lados:
lnmu ;=;ln a ;+;b,ln T,
Isso é uma equação de reta x = ln T, y = lnmu, A = ln a, B = b se definirmos
Ou seja, fazemos uma regressão linear em .

Passo 3

Vamos montar a tabela com bar x = 14sum xi = 4,6443, bar y = 14sum yi = -3,4459 e :
26{,}67 1{,}35 3{,}2836 0{,}3001
93{,}33 0{,}085 4{,}5360 −2{,}4651
148{,}89 0{,}012 5{,}0032 −4{,}4229
315{,}56 0{,}00075 5{,}7544 −7{,}1955
Agora calculamos as médias

Passo 4

Em regressão linear, o declive (coeficiente angular) é
b = B = sum (xi-bar x)(yi-bar y)sum (xi-bar x)^2
e o intercepto é
A = ln a = bar y - b,bar x
Calculando (com as somas já checadas):
sum (xi-bar x)(yi-bar y) approx -9,715, sum (xi-bar x)^2 approx 3,225
Logo
b = -9,715/3,225 approx -3,01
e
ln a = -3,4459 -(-3,01)cdot4,6443 approx 10,54

Passo 5

Voltando do logaritmo para a forma original:
a = e^,ln a = e^10,54approx 3,78times10^4
Portanto a nossa lei de potência que melhor ajusta é
boxedmu = 3,78times10^4 ;T^-3,01

Resposta

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