Use o método de Jacobi para resolver o sistema linear abaixo, partindo do vetor inicial x^{(0)}=(0,0,0)^{T} e realizando 3 iterações:
\left\{\begin{array}{l} 4 x_{1}-x_{2}+x_{3}=7 \\\ x_{1}+5 x_{2}-2 x_{3}=3 \\\\ -x_{1}+2 x_{2}+6 x_{3}=9 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} 4x_{1}-x_{2}+x_{3}=7,\\\ x_{1}+5x_{2}-2x_{3}=3,\\\\ -\,x_{1}+2x_{2}+6x_{3}=9 \end{cases}
pelo método de Jacobi, começando em x^{(0)}=(0,0,0)^{T} e fazendo três iterações. Vamos usar o princípio de isolar cada x_{i} em função dos outros valores da iteração anterior.

Passo 2

Para aplicar Jacobi isolamos cada incógnita em sua própria equação e definimos o esquema iterativo
x_{1}^{(k+1)}=\frac{7 + x_{2}^{(k)} - x_{3}^{(k)}}{4},
x_{2}^{(k+1)}=\frac{3 - x_{1}^{(k)} + 2\,x_{3}^{(k)}}{5},
x_{3}^{(k+1)}=\frac{9 + x_{1}^{(k)} - 2\,x_{2}^{(k)}}{6}.

Passo 3

Na iteração de k=0 para k=1 usamos x^{(0)}=(0,0,0):
x_{1}^{(1)}=\frac{7+0-0}{4}=1,75,\quad x_{2}^{(1)}=\frac{3-0+0}{5}=0,60,\quad x_{3}^{(1)}=\frac{9+0-0}{6}=1,50.
Logo
x^{(1)}=(1,75,\;0,60,\;1,50)^{T}.

Passo 4

Na iteração de k=1 para k=2 substituímos x^{(1)}:
x_{1}^{(2)}=\frac{7+0,60-1,50}{4}=1,525,\quad x_{2}^{(2)}=\frac{3-1,75+2\cdot1,50}{5}=0,850,\quad x_{3}^{(2)}=\frac{9+1,75-2\cdot0,60}{6}=1,592.
Portanto
x^{(2)}=(1,525,\;0,850,\;1,592)^{T}.

Passo 5

Na iteração de k=2 para k=3 usamos x^{(2)}:
x_{1}^{(3)}=\frac{7+0,85-1,592}{4}=1,565,\quad x_{2}^{(3)}=\frac{3-1,525+2\cdot1,592}{5}=0,932,\quad x_{3}^{(3)}=\frac{9+1,525-2\cdot0,85}{6}=1,471.
Fica então
x^{(3)}=(1,565,\;0,932,\;1,471)^{T}.

Resposta

x^{(1)}=(1,75,\;0,60,\;1,50)^{T}
x^{(2)}=(1,525,\;0,850,\;1,592)^{T}
x^{(3)}=(1,565,\;0,932,\;1,471)^{T}

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