Explique o método de Newton para econtrar raízes de funções. Inclua:
A fórmula utilizada e o raciocínio por trás do método.
Passo 1
Beleza, o enunciado tá pedindo para a gente explicar o método de Newton (ou de Newton–Raphson) para achar raízes de uma função, mostrando a fórmula usada e o raciocínio por trás. O conteúdo é Análise Numérica (ou Métodos Numéricos) e a gente vai precisar saber o que é derivada, reta tangente e um pouquinho de série de Taylor de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, qual a ideia geral? Você tem uma função e quer achar um tal que . Em vez de tentar jogar valores no escuro, a gente começa num chute , desenha a reta tangente à curva em e usa o ponto onde essa reta cruza o eixo como próximo chute . Isso funciona porque perto de a reta tangente “se parece” com a curva.
Passo 3
Agora, vamos ver a fórmula dessa reta tangente e de onde vem o passo iterativo.
A reta tangente em tem equação:
Para achar onde essa reta cruza o eixo , colocamos e isolamos :
Então definimos
Esse é o nosso passo de Newton. Ele também pode ser visto como truncar a série de Taylor de em volta de até a parte linear.
Passo 4
Pra usar na prática:
Escolhe um chute inicial (de preferência perto da raiz).
Calcula pela fórmula acima.
Para quando a diferença ficar menor que uma tolerância que você definir.
Dicas:
Se for zero ou muito pequeno, o método pode falhar ou divergir.
Quando convergir, costuma ser bem rápido (convergência quadrática).
Resposta
A fórmula do método de Newton é
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn),
que vem de aproximar por sua reta tangente em e usar o ponto de interseção dessa reta com o eixo como próxima estimativa da raiz.