Explique o método de Newton para econtrar raízes de funções. Inclua:
A fórmula utilizada e o raciocínio por trás do método.

Passo 1

Beleza, o enunciado tá pedindo para a gente explicar o método de Newton (ou de Newton–Raphson) para achar raízes de uma função, mostrando a fórmula usada e o raciocínio por trás. O conteúdo é Análise Numérica (ou Métodos Numéricos) e a gente vai precisar saber o que é derivada, reta tangente e um pouquinho de série de Taylor de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, qual a ideia geral? Você tem uma função e quer achar um tal que . Em vez de tentar jogar valores no escuro, a gente começa num chute , desenha a reta tangente à curva em e usa o ponto onde essa reta cruza o eixo como próximo chute . Isso funciona porque perto de a reta tangente “se parece” com a curva.

Passo 3

Agora, vamos ver a fórmula dessa reta tangente e de onde vem o passo iterativo.
  1. A reta tangente em y = f(xn) + f'(xn),(x - xn) tem equação: 0 = f(xn) + f'(xn),(x - xn) Longrightarrow x = xn - f(xn)f'(xn)
  2. Para achar onde essa reta cruza o eixo xn+1 ;=; xn - f(xn)f'(xn) , colocamos e isolamos :
  3. Então definimos
Esse é o nosso passo de Newton. Ele também pode ser visto como truncar a série de Taylor de em volta de até a parte linear.

Passo 4

Pra usar na prática:
  1. Escolhe um chute inicial (de preferência perto da raiz).
  2. Calcula pela fórmula acima.
  3. Para quando a diferença ficar menor que uma tolerância que você definir.
    Dicas:
  • Se for zero ou muito pequeno, o método pode falhar ou divergir.
  • Quando convergir, costuma ser bem rápido (convergência quadrática).

Resposta

A fórmula do método de Newton é
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn),
que vem de aproximar por sua reta tangente em e usar o ponto de interseção dessa reta com o eixo como próxima estimativa da raiz.

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