Explique os diferentes tipos de erros que podem ocorrer em processos numéricos, fornecendo exemplos para cada tipo. Discuta como esses erros podem impactar os resultados de cálculos numéricos.

Passo 1

Então, o enunciado pede para a gente explicar quais são os principais tipos de erro em processos numéricos, dando um exemplo para cada um, e comentar como esses erros afetam o resultado final.
Conteúdo da matéria: análise numérica (erros de aproximação, representação, arredondamento, modelagem e propagação). Para resolver, a gente vai precisar entender:
  • O que é erro absoluto e erro relativo;
  • Como os computadores representam números reais (ponto flutuante);
  • O que é truncamento (séries, discretizações);
  • Noções de condicionamento de um problema e estabilidade de um algoritmo.

Passo 2

Erro de representação e arredondamento
  1. Representação: computadores guardam números em ponto flutuante (base 2), então valores como 0,1 não existem exatamente. Isso gera um pequeno desvio já na hora de armazenar.
  2. Arredondamento: toda operação aritmética em ponto flutuante produz mais dígitos do que cabem, então é preciso arredondar ao formato permitido.
    Definições:
  • Erro absoluto: , onde é o real e a aproximação.
  • Erro relativo: .
    Exemplo prático: em IEEE-754 double, a “distância mínima” entre 1 e o próximo número é .
    Se você somar 1 + , talvez o resultado continue 1, porque ficou abaixo do limiar de arredondamento.

Passo 3

Erro de truncamento
Surge quando você “corta” um processo infinito para torná-lo finito.
a) Séries de Taylor:
e^x = sumk=0^infty x^kk!longrightarrow sumk=0^nx^kk!
O resto f'(x)approxf(x+h)-f(x)h é o erro de truncamento.
b) Métodos de diferença para derivadas:
Esse esquema tem erro — quanto menor , menor o truncamento, mas aí aumenta o arredondamento!

Passo 4

Erro de modelagem, dados e condicionamento
Quando você traduz um fenômeno real pra um modelo matemático simples, já há imprecisão. Exemplo: usar ajuste linear pra dados que crescem exponencialmente.
Além disso, se o problema for muito mal condicionado, um erro pequeno nos dados se amplifica demais na solução.
Para um sistema linear kappa(A)=|A|;|A^-1|, o número de condição
grande indica que pequenas imprecisões em ou viram erros grandes em .

Passo 5

Propagação de erros e estabilidade de algoritmo
Quando várias operações são feitas em sequência, erros de arredondamento e truncamento vão se acumulando.
Um algoritmo estável é aquele que não amplifica demais os erros iniciais. Por exemplo, na eliminação de Gauss sem pivotamento, às vezes você divide por um número pequenino e dispara erros; com pivotamento parcial, melhora a estabilidade.

Resposta

Resumindo, em processos numéricos você enfrenta:
  1. Erro de representação e arredondamento (computador não armazena reais exatos).
  2. Erro de truncamento (cortar séries ou discretizar derivadas/integral).
  3. Erro de modelagem e imprecisão nos dados (modelo inadequado ou dados ruidosos).
  4. Propagação de erros e condicionamento (pequenas imprecisões que se tornam grandes).
Cada tipo pode, isolado ou combinado, fazer seu resultado ficar bem longe do valor “verdadeiro” — às vezes a ponto de gerar soluções sem sentido. Por isso é vital escolher métodos e parâmetros (como tamanho do passo , estratégia de pivotamento etc.) que controlem esses erros e mantenham seu algoritmo estável.

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