Explique os diferentes tipos de erros que podem ocorrer em processos numéricos, fornecendo exemplos para cada tipo. Discuta como esses erros podem impactar os resultados de cálculos numéricos.
Passo 1
Então, o enunciado pede para a gente explicar quais são os principais tipos de erro em processos numéricos, dando um exemplo para cada um, e comentar como esses erros afetam o resultado final.
Conteúdo da matéria: análise numérica (erros de aproximação, representação, arredondamento, modelagem e propagação). Para resolver, a gente vai precisar entender:
Conteúdo da matéria: análise numérica (erros de aproximação, representação, arredondamento, modelagem e propagação). Para resolver, a gente vai precisar entender:
- O que é erro absoluto e erro relativo;
- Como os computadores representam números reais (ponto flutuante);
- O que é truncamento (séries, discretizações);
- Noções de condicionamento de um problema e estabilidade de um algoritmo.
Passo 2
Erro de representação e arredondamento
- Representação: computadores guardam números em ponto flutuante (base 2), então valores como 0,1 não existem exatamente. Isso gera um pequeno desvio já na hora de armazenar.
- Arredondamento: toda operação aritmética em ponto flutuante produz mais dígitos do que cabem, então é preciso arredondar ao formato permitido.
Definições:
- Erro absoluto:
, onde é o real e a aproximação. - Erro relativo:
.
Exemplo prático: em IEEE-754 double, a “distância mínima” entre 1 e o próximo número é.
Se você somar 1 +, talvez o resultado continue 1, porque ficou abaixo do limiar de arredondamento.
Passo 3
Erro de truncamento
Surge quando você “corta” um processo infinito para torná-lo finito.
a) Séries de Taylor:
Surge quando você “corta” um processo infinito para torná-lo finito.
a) Séries de Taylor:
O resto
é o erro de truncamento.
b) Métodos de diferença para derivadas:
b) Métodos de diferença para derivadas:
Esse esquema tem erro
— quanto menor
, menor o truncamento, mas aí aumenta o arredondamento!
Passo 4
Erro de modelagem, dados e condicionamento
Quando você traduz um fenômeno real pra um modelo matemático simples, já há imprecisão. Exemplo: usar ajuste linear pra dados que crescem exponencialmente.
Além disso, se o problema for muito mal condicionado, um erro pequeno nos dados se amplifica demais na solução.
Para um sistema linear , o número de condição
Quando você traduz um fenômeno real pra um modelo matemático simples, já há imprecisão. Exemplo: usar ajuste linear pra dados que crescem exponencialmente.
Além disso, se o problema for muito mal condicionado, um erro pequeno nos dados se amplifica demais na solução.
Para um sistema linear
grande indica que pequenas imprecisões em
ou
viram erros grandes em
.
Passo 5
Propagação de erros e estabilidade de algoritmo
Quando várias operações são feitas em sequência, erros de arredondamento e truncamento vão se acumulando.
Um algoritmo estável é aquele que não amplifica demais os erros iniciais. Por exemplo, na eliminação de Gauss sem pivotamento, às vezes você divide por um número pequenino e dispara erros; com pivotamento parcial, melhora a estabilidade.
Quando várias operações são feitas em sequência, erros de arredondamento e truncamento vão se acumulando.
Um algoritmo estável é aquele que não amplifica demais os erros iniciais. Por exemplo, na eliminação de Gauss sem pivotamento, às vezes você divide por um número pequenino e dispara erros; com pivotamento parcial, melhora a estabilidade.
Resposta
Resumindo, em processos numéricos você enfrenta:
- Erro de representação e arredondamento (computador não armazena reais exatos).
- Erro de truncamento (cortar séries ou discretizar derivadas/integral).
- Erro de modelagem e imprecisão nos dados (modelo inadequado ou dados ruidosos).
- Propagação de erros e condicionamento (pequenas imprecisões que se tornam grandes).
Cada tipo pode, isolado ou combinado, fazer seu resultado ficar bem longe do valor “verdadeiro” — às vezes a ponto de gerar soluções sem sentido. Por isso é vital escolher métodos e parâmetros (como tamanho do passo
, estratégia de pivotamento etc.) que controlem esses erros e mantenham seu algoritmo estável.