Explique como números são representados em ponto flutuante na base 10 e na base 2. Use exemplos numéricos para ilustrar sua explicação.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente explicar como funciona a representação de números em ponto flutuante tanto na base 10 quanto na base 2, usando exemplos numéricos. Isso entra no conteúdo de “notação científica” e “formato IEEE-754” (pra parte binária). Pra resolver, vamos precisar entender:
- O que é notação científica (manter uma mantissa e um expoente)
- Como normalizar números em base 10 e base 2
- Como o padrão IEEE-754 organiza sinal, expoente (com bias) e fração
Passo 2
Notação científica em base 10
- A ideia é escrever qualquer número como
onde(a mantissa) fica entre 1 e 9,999… e (o expoente) é um inteiro.
2. Exemplo:. A gente ajusta pra ter um dígito antes da vírgula:
Aqui e . - Em ponto flutuante decimal, você guarda:
- Um bit de sinal (0 pra positivo, 1 pra negativo)
- Alguns dígitos (ou bits) pra mantissa
- Alguns dígitos pro expoente (em BCD ou expoente com bias)
Passo 3
Notação científica em base 2
- Agora a base é 2, então escrevemos
comno intervalo , ou seja, algo como .
2. Exemplo: o decimalvira binário assim:
13 =,
0{,}25 =,
então.
3. Normalizando a gente coloca só um “1” antes do ponto:
Aqui e .
Passo 4
Formato IEEE-754 simples (32 bits)
- São 3 campos:
- bit de sinal
- expoente com bias de 127 (
em 8 bits) - fração (mantissa sem o “1.”, em 23 bits)
- bit de sinal
- No exemplo
: -
(é positivo) -
, então , que em binário cabe em 8 bits:
- A mantissa normalizada é, mas guardamos só a parte depois do ponto:
-
- Juntando tudo dá (espaçando pra visual):
Passo 5
Comparando decimal × binário
- Em decimal o expoente é base 10, em binário é base 2.
- O binário tem bias no expoente pra cobrir positivos e negativos.
- Erros de arredondamento aparecem nos dois, mas no binário certos decimais (como 0,1) não terminam nunca na fração.
Resposta
Em ponto flutuante a ideia geral é mesma: você guarda um sinal, uma mantissa normalizada (entre 1 e a base) e um expoente que diz quantas casas “mover” a vírgula. Em base 10 a gente fala em potências de 10; em base 2, potências de 2, e aí o padrão IEEE-754 detalha como embalar isso em bits (sinal, expoente com bias e fração).