Explique como números são representados em ponto flutuante na base 10 e na base 2. Use exemplos numéricos para ilustrar sua explicação.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente explicar como funciona a representação de números em ponto flutuante tanto na base 10 quanto na base 2, usando exemplos numéricos. Isso entra no conteúdo de “notação científica” e “formato IEEE-754” (pra parte binária). Pra resolver, vamos precisar entender:
  • O que é notação científica (manter uma mantissa e um expoente)
  • Como normalizar números em base 10 e base 2
  • Como o padrão IEEE-754 organiza sinal, expoente (com bias) e fração

Passo 2

Notação científica em base 10
  1. A ideia é escrever qualquer número como x = pm m times 10^e
    onde m (a mantissa) fica entre 1 e 9,999… e e (o expoente) é um inteiro.
    2. Exemplo: 123,45. A gente ajusta pra ter um dígito antes da vírgula:
    123,45 = 1,2345 times 10^2Aqui m = 1,2345 e e = 2.
  2. Em ponto flutuante decimal, você guarda:
    • Um bit de sinal (0 pra positivo, 1 pra negativo)
    • Alguns dígitos (ou bits) pra mantissa
    • Alguns dígitos pro expoente (em BCD ou expoente com bias)

Passo 3

Notação científica em base 2
  1. Agora a base é 2, então escrevemos x = pm m times 2^e
    com m no intervalo [1,2), ou seja, algo como 1xxxx2.
    2. Exemplo: o decimal 13,25 vira binário assim:
    13 = 11012,
    0{,}25 = 0,012,
    então 13,25 = 1101,012.
    3. Normalizando a gente coloca só um “1” antes do ponto:
    1101,012 = 1101012 times 2^3Aqui m = 1.101012 e e = 3.

Passo 4

Formato IEEE-754 simples (32 bits)
  1. São 3 campos:
    • bit de sinal S
    • expoente com bias de 127 ( E em 8 bits)
    • fração (mantissa sem o “1.”, em 23 bits)
  2. No exemplo 13,25:
    • S=0 (é positivo)
    • e = 3, então E = e + 127 = 130, que em binário cabe em 8 bits: 13010 = 100000102
      - A mantissa normalizada é 1.101012, mas guardamos só a parte depois do ponto:
      frac = 101010000ldots0(23 bits)
  3. Juntando tudo dá (espaçando pra visual): underbrace0S;underbrace10000010E;underbrace10101000000000000000000mantissa

Passo 5

Comparando decimal × binário
  • Em decimal o expoente é base 10, em binário é base 2.
  • O binário tem bias no expoente pra cobrir positivos e negativos.
  • Erros de arredondamento aparecem nos dois, mas no binário certos decimais (como 0,1) não terminam nunca na fração.

Resposta

Em ponto flutuante a ideia geral é mesma: você guarda um sinal, uma mantissa normalizada (entre 1 e a base) e um expoente que diz quantas casas “mover” a vírgula. Em base 10 a gente fala em potências de 10; em base 2, potências de 2, e aí o padrão IEEE-754 detalha como embalar isso em bits (sinal, expoente com bias e fração).

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