Supondo que x, y, w, z são representados corretamente obtenha o limite superior para o módulo de erro relativo de da expressão (x+y)^* w-z. Considere erro de truncamento.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício pede.
Conteúdo: análise de erro em ponto flutuante (truncamento).
O que precisamos:
  • O modelo básico de erro em ponto flutuante: fl(a;op;b) = (a;op;b),(1+varepsilon), |varepsilon|<= u
  • Aplicar esse modelo em três operações: soma, multiplicação e subtração
  • Combinar os erros para achar a expressão final do erro relativo

Passo 2

Primeiro, somamos x e y:
s = fl(x+y) = (x+y),(1+varepsilon1), |varepsilon1|<= u
Aqui a teoria é simples: quando somamos em ponto flutuante, o resultado exato sofre um erro de ordem .

Passo 3

Agora multiplicamos essa soma por w:
m = fl(s cdot w) = scdot w,(1+varepsilon2) = (x+y),(1+varepsilon1),w,(1+varepsilon2), |varepsilon2|<= u
A ideia é a mesma: todo produto em ponto flutuante gera um erro com .

Passo 4

Por fim, subtraímos z:
t = fl(m - z) = (m - z),(1+varepsilon3), |varepsilon3|<= u
Isso cuida da última operação, a subtração, e adiciona mais um erro de truncamento.

Passo 5

Vamos juntar tudo:
  1. E = (x+y),w - z
  2. T = l((x+y),w,(1+varepsilon1)(1+varepsilon2) - zr),(1+varepsilon3)
Definimos o valor exato da expressão como
T - E = (x+y),w,(1+varepsilon1)(1+varepsilon2)(1+varepsilon3) - z,(1+varepsilon3) ;-;l((x+y),w - zr)
Então o resultado em máquina é
|T - E| ;<=; 2u,l|(x+y),wr| ;+; u,|E| ;+; O(u^2)
O erro absoluto é
|T - EE| ;<=; 2u,|(x+y)w| + u,|E||E| ;=; u + 2u;|(x+y),w(x+y),w - z| ;+; O(u^2)
Para não ficar muito pesado a álgebra, usamos o fato de que e desprezamos termos de . Chega-se a
Por fim, o erro relativo é

Resposta

Um limite superior para o módulo do erro relativo (desprezando boxed |fll((x+y)w - zr) - l((x+y)w - zr)(x+y)w - z| ;<=; u ;+; 2,u;l|tfrac(x+y),w(x+y),w - zr| ) é

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