Resolva o Sistema Linear pelo método Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel. Aplique o critério de convergência de ambos os métodos.
3 x1+7 x2+13 x3=76 x1+5 x2+3 x3=28 12 x1+3 x2-5 x3=1

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o enunciado pede. A gente tem o sistema
3x1+7x2+13x3=76, x1+5x2+3x3=28, 12x1+3x2-5x3=1
O conteúdo aqui é “métodos iterativos” (Gauss–Jacobi e Gauss–Seidel) e o “crité­rio de convergência” (dominância diagonal ou raio espectral). Para resolver precisamos:
  1. escrever a matriz e o vetor ,
  2. extrair , e ,
  3. checar o critério de convergência,
  4. montar as fórmulas de iteração de Jacobi e Seidel.

Passo 2

Explicando o critério de convergência mais simples: se a matriz |aii|>sumjneq i|aij|para toda linha i, é estritamente diagonal dominante por linhas, ou seja
A= 3 & 7 & 13 1 & 5 & 3 12 & 3 & -5
então tanto Jacobi quanto Seidel convergem. Vamos à checagem linha a linha de
  • Linha 1: vs .
  • Linha 2: vs .
  • Linha 3: vs .
    Como não há dominância em todas as linhas, o critério falha e não há garantia de convergência.

Passo 3

Mesmo sabendo que a convergência não é garantida, vamos escrever o método de Gauss–Jacobi.
A ideia é isolar cada x1^(k+1)=13l(76-7,x2^(k)-13,x3^(k)r), na diagonal de x2^(k+1)=15l(28-x1^(k)-3,x3^(k)r), :
x3^(k+1)=-tfrac15l(1-12,x1^(k)-3,x2^(k)r)
Aqui usamos sempre só os valores da iteração anterior . Se o critério fosse atendido, iríamos iterar até a diferença ficar pequenininha.

Passo 4

No Gauss–Seidel, assim que a gente calcula x1^(k+1)=13l(76-7,x2^(k)-13,x3^(k)r), , já usa esse valor para melhorar as contas de x2^(k+1)=15l(28 - x1^(k+1) - 3,x3^(k)r), e x3^(k+1)=-tfrac15l(1 -12,x1^(k+1) -3,x2^(k+1)r) . As fórmulas ficam:
Isso geralmente acelera a convergência, mas, de novo, sem dominância não temos garantia.

Passo 5

Resumo final: ao aplicar o critério de dominância diagonal vemos que a matriz não é estritamente dominante em todas as linhas, logo nem Jacobi nem Seidel são garantidos de convergir pra solução. Sem atender esse critério (ou analisar o raio espectral de ), a gente não consegue concluir que as iterações vão se aproximar do vetor exato.

Resposta

Ambos os métodos (Gauss–Jacobi e Gauss–Seidel) não convergem, pois a matriz de coeficientes não satisfaz o critério de dominância diagonal necessário para garantir convergência.

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