Resolva o Sistema Linear pelo método Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel. Aplique o critério de convergência de ambos os métodos.
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o enunciado pede. A gente tem o sistema
O conteúdo aqui é “métodos iterativos” (Gauss–Jacobi e Gauss–Seidel) e o “critério de convergência” (dominância diagonal ou raio espectral). Para resolver precisamos:
escrever a matriz e o vetor ,
extrair , e ,
checar o critério de convergência,
montar as fórmulas de iteração de Jacobi e Seidel.
Passo 2
Explicando o critério de convergência mais simples: se a matriz |aii|>sumjneq i|aij|para toda linha i, é estritamente diagonal dominante por linhas, ou seja
A= 3 & 7 & 13 1 & 5 & 3 12 & 3 & -5
então tanto Jacobi quanto Seidel convergem. Vamos à checagem linha a linha de
Linha 1: vs → .
Linha 2: vs → .
Linha 3: vs → .
Como não há dominância em todas as linhas, o critério falha e não há garantia de convergência.
Passo 3
Mesmo sabendo que a convergência não é garantida, vamos escrever o método de Gauss–Jacobi.
A ideia é isolar cada x1^(k+1)=13l(76-7,x2^(k)-13,x3^(k)r), na diagonal de x2^(k+1)=15l(28-x1^(k)-3,x3^(k)r), :
x3^(k+1)=-tfrac15l(1-12,x1^(k)-3,x2^(k)r)
Aqui usamos sempre só os valores da iteração anterior . Se o critério fosse atendido, iríamos iterar até a diferença ficar pequenininha.
Passo 4
No Gauss–Seidel, assim que a gente calcula x1^(k+1)=13l(76-7,x2^(k)-13,x3^(k)r), , já usa esse valor para melhorar as contas de x2^(k+1)=15l(28 - x1^(k+1) - 3,x3^(k)r), e x3^(k+1)=-tfrac15l(1 -12,x1^(k+1) -3,x2^(k+1)r) . As fórmulas ficam:
Isso geralmente acelera a convergência, mas, de novo, sem dominância não temos garantia.
Passo 5
Resumo final: ao aplicar o critério de dominância diagonal vemos que a matriz não é estritamente dominante em todas as linhas, logo nem Jacobi nem Seidel são garantidos de convergir pra solução. Sem atender esse critério (ou analisar o raio espectral de ), a gente não consegue concluir que as iterações vão se aproximar do vetor exato.
Resposta
Ambos os métodos (Gauss–Jacobi e Gauss–Seidel) não convergem, pois a matriz de coeficientes não satisfaz o critério de dominância diagonal necessário para garantir convergência.