Explique porque a equação
admite uma solução no intervalo
.
Qual o número mínimo de iterações
que será realizado pelo algoritmo do método da bisseç̧ão para que o erro seja menor que
iniciando as iterações no intervalo
?
Qual o número mínimo de iterações
Passo 1
Beleza, então a questão pede duas coisas:
- Mostrar que a equação
tem alguma solução no intervalo
.
2) Calcular quantas iterações no método da bisseção (começando em ) a gente precisa para garantir que o erro seja menor que
.
2) Calcular quantas iterações no método da bisseção (começando em
Conteúdo que vamos usar:
- Teorema do Valor Intermediário (TVI), que diz que se uma função
é contínua num intervalo e muda de sinal nas extremidades, ela tem pelo menos uma raiz aí dentro; - Fórmula de cota de erro do método da bisseção, que é
Passo 2
Primeiro, define a função
Ela é contínua em
porque exponencial e polinômio são contínuos. Agora avalia nas pontas do intervalo:
- Em
: - Em
:
Como
e
, o Teorema do Valor Intermediário garante pelo menos uma raiz de
(ou seja, uma solução de
) em
.
Passo 3
Agora, o método da bisseção reduz o comprimento do intervalo pela metade a cada iteração. Se o intervalo inicial é
, o erro depois de
iterações satisfaz
Substitui
:
Tira log base 2 dos dois lados:
Como
precisa ser inteiro e “no mínimo” esse valor, a gente arredonda pra cima:
Resposta
A equação
tem solução em
pelo Teorema do Valor Intermediário, e o número mínimo de iterações no método da bisseção para erro menor que
é
.