Explique porque a equação e^-x=x admite uma solução no intervalo [0,1].
Qual o número mínimo de iterações k que será realizado pelo algoritmo do método da bisseç̧ão para que o erro seja menor que 10^-8 iniciando as iterações no intervalo [0,1] ?

Passo 1

Beleza, então a questão pede duas coisas:
  1. Mostrar que a equação
e^-x = x
tem alguma solução no intervalo errok <= b-a2^k .
2) Calcular quantas iterações no método da bisseção (começando em ) a gente precisa para garantir que o erro seja menor que .
Conteúdo que vamos usar:
  • Teorema do Valor Intermediário (TVI), que diz que se uma função é contínua num intervalo e muda de sinal nas extremidades, ela tem pelo menos uma raiz aí dentro;
  • Fórmula de cota de erro do método da bisseção, que é

Passo 2

Primeiro, define a função
f(x) = e^-x - x
Ela é contínua em f(0) = e^0 - 0 = 1 > 0 porque exponencial e polinômio são contínuos. Agora avalia nas pontas do intervalo:
  • Em f(1) = e^-1 - 1 = 1e - 1 approx 0,3679 - 1 = -0,6321 < 0 :
  • Em :
Como e , o Teorema do Valor Intermediário garante pelo menos uma raiz de (ou seja, uma solução de ) em .

Passo 3

Agora, o método da bisseção reduz o comprimento do intervalo pela metade a cada iteração. Se o intervalo inicial é b-a2^k <= 10^-8 , o erro depois de 12^k <= 10^-8 Longrightarrow 2^k >= 10^8 iterações satisfaz
k >= log2(10^8) = 8log2(10) approx 8 times 3,32193 = 26,5754ldots
Substitui k = 27:
Tira log base 2 dos dois lados:
Como precisa ser inteiro e “no mínimo” esse valor, a gente arredonda pra cima:

Resposta

A equação tem solução em pelo Teorema do Valor Intermediário, e o número mínimo de iterações no método da bisseção para erro menor que é .

Exercícios relacionados