Explique porque a equação e^-x=x admite uma solução no intervalo [0,1].
Use o método da bissecção para encontrar a raiz com 2 dígitos significativos. É possível mostrar que não há outra raiz?

Passo 1

Beleza, vamos achar onde a curva de y=e^-x cruza a reta y=x no intervalo [0,1].
Conteúdo: Teorema de Bolzano (existência de raiz), monotonicidade (derivada), método da bissecção.
O que precisamos:
  • Definir f(x)=e^-x-x.
  • Mostrar que f(0) e f(1) têm sinais opostos (Bolzano).
  • Verificar que f'(x)<0 para garantir só uma raiz.
  • Rodar bissecção até ter dois dígitos significativos.

Passo 2

Definimos f(x)=e^-x-x,
Calcula:
- f(0)=e^0-0=1>0
- f(1)=e^-1-1approx0,3679-1=-0,6321<0
Como f é contínua, pelo Teorema de Bolzano existe ao menos uma raiz em [0,1].

Passo 3

Agora, para ver se rola outra raiz, vamos olhar a derivada:
f'(x)=-e^-x-1,
Como e^-x>0 para todo x, a soma -e^-x-1 é sempre negativa.
Logo f é sempre decrescente, o que impede mais de um ponto onde ela zere.
Conclusão: só tem UMA raiz em .

Passo 4

Bora pro método da bissecção. Queremos dois dígitos significativos, ou seja, erro menor que 0,01.
Começamos com a0=0, b0=1 e iteramos:
  1. m1=0,5, f(m1)approx0,6065-0,5=0,1065>0;Rightarrow;[a1,b1]=[0,5,1]
  2. m2=0,75, f(m2)approx0,4724-0,75=-0,2776<0;Rightarrow;[0,5,0,75]
  3. m3=0,625, f(m3)approx0,5353-0,625=-0,0897<0;Rightarrow;[0,5,0,625]
  4. m4=0,5625, f(m4)approx0,5698-0,5625=0,0073>0;Rightarrow;[0,5625,0,625]
  5. m5=0,59375, f(m5)approx0,5525-0,59375=-0,0413<0;Rightarrow;[0,5625,0,59375]
  6. m6=0,578125, f(m6)approx0,5615-0,578125=-0,0166<0;Rightarrow;[0,5625,0,578125]
  7. m7=0,5703125, f(m7)approx0,5656-0,5703125=-0,0047<0;Rightarrow;[0,5625,0,5703125]
Após 7 iterações, o comprimento do intervalo é b7-a7=0,0078125<0,01, ou seja, já temos dois dígitos confiáveis.

Resposta

A raiz de e^-x=x em [0,1] é aproximadamente
xapprox0,57
e, como f'(x)<0 em todo lugar, não existe outra raiz.

Exercícios relacionados