Explique como o valor posicional muda ao passar de uma base para outra.
Passo 1
O que o enunciado pede: explicar como o valor posicional muda quando passamos de uma base para outra.
Informações relevantes (o que vou usar para responder): temos sistemas de numeração posicional com uma base (inteira
); cada dígito ocupa uma posição e cada posição tem um “peso” que depende da base; precisamos mostrar como esses pesos mudam e como converter números entre bases (inteiros e partes fracionárias). Não há um número específico dado — é uma explicação geral com exemplos.
Informações relevantes (o que vou usar para responder): temos sistemas de numeração posicional com uma base
Passo 2
O que é um sistema posicional (definição e fórmula geral).
Em um sistema de base usamos dígitos entre
e
. Um número com dígitos
representa a soma
Em um sistema de base
Aqui:
-
é o dígito na posição (um inteiro ); -
é a base; -
é o peso da posição .
Explicando: a posiçãoé as unidades ( ), é a “posição seguinte” que vale unidades, vale unidades, e para frações vale , etc.
Passo 3
Exemplo concreto em base
para fixar a ideia de pesos.
O número decimal tem a escrita
e vale
O número decimal
Aqui cada posição vale potências de
. Se agora mudarmos a base, as potências passam a ser da nova base e os mesmos dígitos (se permitidos) terão pesos diferentes.
Passo 4
Mostrar como muda o valor posicional indo para base
(binário) — exemplo de leitura.
O número binário significa
O número binário
Comentário: em binário cada posição pesa potências de
. Portanto o mesmo padrão de dígitos em bases diferentes tem interpretações numéricas distintas porque as potências mudam.
Passo 5
Como converter um inteiro decimal para outra base (
) — algoritmo por divisões sucessivas (passo a passo).
Algoritmo: dividir o número por , anotar o resto; dividir o quociente por
novamente e anotar o resto; repetir até quociente ser
. A escrita na base
é os restos lidos de baixo para cima (do último resto ao primeiro).
Exemplo: converter para binário (
). Faço divisões:
Algoritmo: dividir o número por
Exemplo: converter
Lendo restos de baixo para cima:
. Conferência rápida:
.
Passo 6
Como converter de qualquer base
para decimal — soma dos pesos (passo a passo).
Se você tem um número escrito em base , basta calcular a soma
. Exemplo: converter
para decimal:
Se você tem um número escrito em base
Regra geral: multiplique cada dígito pelo peso
e some.
Passo 7
Como converter a parte fracionária decimal para outra base — algoritmo por multiplicações sucessivas.
Algoritmo: multiplique a parte fracionária por ; a parte inteira do resultado será o primeiro dígito fracionário na base
; repita usando a nova parte fracionária. Pare quando a parte fracionária virar zero (ou repita até atingir precisão desejada).
Exemplo: converter para binário (
):
Algoritmo: multiplique a parte fracionária por
Exemplo: converter
Logo
. Conferência:
.
Passo 8
Conversão entre duas bases quaisquer (sem passar por decimal) e truques práticos.
Método direto geral: converta primeiro para decimal e depois para a base alvo (fácil e seguro). Método rápido quando uma base é potência da outra: agrupar dígitos. Exemplos:
Método direto geral: converta primeiro para decimal e depois para a base alvo (fácil e seguro). Método rápido quando uma base é potência da outra: agrupar dígitos. Exemplos:
- De binário para octal (
): agrupe bits em blocos de 3 (da direita para a esquerda). Por exemplo, agrupa como -> completar o último com zero à esquerda: errata: usar blocos de 3: melhor ajustar exemplos com cuidado — aqui vai um exemplo correto: → grup. de 3 da direita: → completar a esquerda: → em octal: então . - De binário para hexadecimal (
): agrupe em blocos de 4 bits. Ex.: → → e → hex , logo .
Esses agrupamentos funcionam porquee , então cada bloco corresponde a uma potência inteira da base maior.
Passo 9
Dígitos permitidos e como aparecem símbolos (ex.: hexadecimal).
Em uma base os dígitos vão de
até
. Quando
usamos letras para representar valores maiores que
. Por exemplo em hexadecimal (
):
. Exemplo de conversão:
para hex:
Em uma base
logo
. Conferência:
.
Passo 10
Comportamento de frações que repetem e unicidade da representação.
- Nem toda fração decimal tem representação finita em outra base; por exemplo
não tem representação finita em binário (vai repetir). Em geral uma fração tem representação finita em base se e somente se o denominador (na forma irredutível) tiver apenas fatores primos que dividem . - A representação posicional é única se impusermos que não haja “zeros à direita infinitos” e que cada dígito respeite
. Obs.: existe também a ambiguidade (caso raro a considerar).
Passo 11
Dicas rápidas para a prova (práticas e para checar resposta).
- Para inteiros: use divisões sucessivas para ir de decimal a outra base; para voltar, some os pesos.
- Para frações: use multiplicações sucessivas.
- Para bases relacionadas por potência (2↔8↔16) use agrupamento de dígitos — é muito rápido e seguro.
- Sempre confira convertendo de volta para decimal (ou somando as potências) — se bater, está certo. Respire fundo e faça passo a passo; você consegue!
Resposta
Em um sistema posicional de base
cada posição tem peso
(com
), então ao mudar a base os pesos das posições mudam de potências de uma base para potências da outra; para converter inteiros use divisões sucessivas (restos), para converter frações use multiplicações sucessivas, e para bases relacionadas por potência (por exemplo
e
) pode-se agrupar dígitos (blocos de
para hex, de
para octal).