Explique como o valor posicional muda ao passar de uma base para outra.

Passo 1

O que o enunciado pede: explicar como o valor posicional muda quando passamos de uma base para outra.
Informações relevantes (o que vou usar para responder): temos sistemas de numeração posicional com uma base b (inteira b\ge2); cada dígito ocupa uma posição e cada posição tem um “peso” que depende da base; precisamos mostrar como esses pesos mudam e como converter números entre bases (inteiros e partes fracionárias). Não há um número específico dado — é uma explicação geral com exemplos.

Passo 2

O que é um sistema posicional (definição e fórmula geral).
Em um sistema de base \,b\: usamos dígitos entre \,0 e \,b-1. Um número com dígitos a_n a_{n-1}\dots a_1 a_0 . a_{-1} a_{-2}\dots representa a soma
\sum_{k=-m}^{n} a_k\, b^{k}.
Aqui:
  • \,a_k é o dígito na posição k (um inteiro 0\le a_k\le b-1);
  • \,b é a base;
  • \,b^{k} é o peso da posição k.
    Explicando: a posição k=0 é as unidades ( b^0=1), k=1 é a “posição seguinte” que vale \,b unidades, k=2 vale \,b^2 unidades, e para frações k=-1 vale b^{-1}, etc.

Passo 3

Exemplo concreto em base \,10 para fixar a ideia de pesos.
O número decimal \,345 tem a escrita 3\,4\,5 e vale
3\cdot10^{2}+4\cdot10^{1}+5\cdot10^{0}.
Aqui cada posição vale potências de \,10. Se agora mudarmos a base, as potências passam a ser da nova base e os mesmos dígitos (se permitidos) terão pesos diferentes.

Passo 4

Mostrar como muda o valor posicional indo para base \,2 (binário) — exemplo de leitura.
O número binário \,1011 significa
1\cdot2^{3}+0\cdot2^{2}+1\cdot2^{1}+1\cdot2^{0}=8+0+2+1=11.
Comentário: em binário cada posição pesa potências de \,2. Portanto o mesmo padrão de dígitos em bases diferentes tem interpretações numéricas distintas porque as potências mudam.

Passo 5

Como converter um inteiro decimal para outra base ( b) — algoritmo por divisões sucessivas (passo a passo).
Algoritmo: dividir o número por \,b, anotar o resto; dividir o quociente por \,b novamente e anotar o resto; repetir até quociente ser \,0. A escrita na base b é os restos lidos de baixo para cima (do último resto ao primeiro).
Exemplo: converter \,45_{10} para binário ( b=2). Faço divisões:
\begin{aligned} 45 \div 2 &= 22\\ \text{quociente},\\ \text{resto }1\\\\ 22 \div 2 &= 11,\\ \text{resto }0\\\\ 11 \div 2 &= 5,\\ \text{resto }1\\\\ 5 \div 2 &= 2,\\ \text{resto }1\\\\ 2 \div 2 &= 1,\\ \text{resto }0\\\\ 1 \div 2 &= 0,\\ \text{resto }1 \end{aligned}
Lendo restos de baixo para cima: \,45_{10} = 101101_{2}. Conferência rápida: 1\cdot2^{5}+0\cdot2^{4}+1\cdot2^{3}+1\cdot2^{2}+0\cdot2^{1}+1\cdot2^{0}=32+0+8+4+0+1=45.

Passo 6

Como converter de qualquer base b para decimal — soma dos pesos (passo a passo).
Se você tem um número escrito em base \,b, basta calcular a soma \sum a_k b^k. Exemplo: converter \,1101_{2} para decimal:
1\cdot2^{3}+1\cdot2^{2}+0\cdot2^{1}+1\cdot2^{0}=8+4+0+1=13_{10}.
Regra geral: multiplique cada dígito pelo peso b^k e some.

Passo 7

Como converter a parte fracionária decimal para outra base — algoritmo por multiplicações sucessivas.
Algoritmo: multiplique a parte fracionária por \,b; a parte inteira do resultado será o primeiro dígito fracionário na base \,b; repita usando a nova parte fracionária. Pare quando a parte fracionária virar zero (ou repita até atingir precisão desejada).
Exemplo: converter \,0{,}625_{10} para binário ( b=2):
\begin{aligned} 0{,}625\times 2 &=1{,}25\\ \Rightarrow \text{dígito }1,\\ \text{nova frac }0{,}25\\\\ 0{,}25\times 2 &=0{,}5\\ \Rightarrow \text{dígito }0,\\ \text{nova frac }0{,}5\\\\ 0{,}5\times 2 &=1{,}0\\ \Rightarrow \text{dígito }1,\\ \text{nova frac }0 \end{aligned}ííí
Logo \,0{,}625_{10}=0{,}101_{2}. Conferência: 1\cdot2^{-1}+0\cdot2^{-2}+1\cdot2^{-3}=1/2+0+1/8=0{,}5+0{,}125=0{,}625.

Passo 8

Conversão entre duas bases quaisquer (sem passar por decimal) e truques práticos.
Método direto geral: converta primeiro para decimal e depois para a base alvo (fácil e seguro). Método rápido quando uma base é potência da outra: agrupar dígitos. Exemplos:
  • De binário para octal ( b=8): agrupe bits em blocos de 3 (da direita para a esquerda). Por exemplo, \,11010110_{2} agrupa como 110\;101\;10 -> completar o último com zero à esquerda: 0110 errata: usar blocos de 3: 11\;010\;110 melhor ajustar exemplos com cuidado — aqui vai um exemplo correto: \,11010110_{2} → grup. de 3 da direita: 11\;010\;110 → completar a esquerda: 011\;010\;110 → em octal: 3\;2\;6 então \,11010110_{2}=326_{8}.
  • De binário para hexadecimal ( b=16): agrupe em blocos de 4 bits. Ex.: \,11010110_{2} 1101\;0110 13 e 6 → hex D6, logo \,11010110_{2}=D6_{16}.
    Esses agrupamentos funcionam porque 8=2^{3} e 16=2^{4}, então cada bloco corresponde a uma potência inteira da base maior.

Passo 9

Dígitos permitidos e como aparecem símbolos (ex.: hexadecimal).
Em uma base \,b os dígitos vão de \,0 até \,b-1. Quando \,b>10 usamos letras para representar valores maiores que \,9. Por exemplo em hexadecimal ( b=16): 10\mapsto A,\;11\mapsto B,\;12\mapsto C,\;13\mapsto D,\;14\mapsto E,\;15\mapsto F. Exemplo de conversão: \,254_{10} para hex:
254\div16=15\\ \text{resto }14 \Rightarrow E,\qquad 15\div16=0\\ \text{resto }15\Rightarrow F,
logo \,254_{10}=FE_{16}. Conferência: 15\cdot16+14=240+14=254.

Passo 10

Comportamento de frações que repetem e unicidade da representação.
  • Nem toda fração decimal tem representação finita em outra base; por exemplo \,0{,}1_{10} não tem representação finita em binário (vai repetir). Em geral uma fração tem representação finita em base \,b se e somente se o denominador (na forma irredutível) tiver apenas fatores primos que dividem \,b.
  • A representação posicional é única se impusermos que não haja “zeros à direita infinitos” e que cada dígito respeite 0\le a_k\le b-1. Obs.: existe também a ambiguidade 0{,}999\ldots_{10}=1{,}0_{10} (caso raro a considerar).

Passo 11

Dicas rápidas para a prova (práticas e para checar resposta).
  • Para inteiros: use divisões sucessivas para ir de decimal a outra base; para voltar, some os pesos.
  • Para frações: use multiplicações sucessivas.
  • Para bases relacionadas por potência (2↔8↔16) use agrupamento de dígitos — é muito rápido e seguro.
  • Sempre confira convertendo de volta para decimal (ou somando as potências) — se bater, está certo. Respire fundo e faça passo a passo; você consegue!

Resposta

Em um sistema posicional de base \,b cada posição tem peso \,b^{k} (com k\in\mathbb{Z}), então ao mudar a base os pesos das posições mudam de potências de uma base para potências da outra; para converter inteiros use divisões sucessivas (restos), para converter frações use multiplicações sucessivas, e para bases relacionadas por potência (por exemplo 2 e 16) pode-se agrupar dígitos (blocos de 4 para hex, de 3 para octal).

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