Qual é o número máximo representável com 8 bits em base 2 ?

Passo 1

O enunciado pergunta qual é o número máximo que pode ser representado usando exatamente 8 bits em base 2.
Informação dada: temos 8 bits (cada bit vale 0 ou 1).
O que precisa encontrar: o maior valor numérico possível usando esses 8 bits.

Passo 2

Vamos entender como funciona a representação posicional em base 2 (binária). Cada bit ocupa uma posição e cada posição tem um “peso” que é uma potência de 2. Se um bit está ligado (vale 1), ele contribui com o peso daquela posição; se está desligado (vale 0), contribui com 0. Em termos práticos, um número binário com bits b_7 b_6 \dots b_1 b_0 vale:
\sum_{k=0}^{7} b_k \, 2^k
onde cada b_k é 0 ou 1, e 2^k é o peso da posição k (com k=0 sendo o bit menos significativo).

Passo 3

Listemos os pesos das 8 posições (peguei a informação de “8 bits” do enunciado):
2^0,\;2^1,\;2^2,\;2^3,\;2^4,\;2^5,\;2^6,\;2^7
Numericamente esses pesos são:
1,\;2,\;4,\;8,\;16,\;32,\;64,\;128

Passo 4

Para obter o número máximo, precisamos que cada bit que possa contribuir esteja no valor máximo possível, ou seja, todos os bits iguais a 1. Assim o maior número em 8 bits é o binário:
\text{11111111}_2
que em valor decimal é a soma de todos os pesos listados:
1+2+4+8+16+32+64+128.

Passo 5

Podemos calcular essa soma usando a soma de uma progressão geométrica. A soma das potências de 2 de k=0 até k=n-1 é
\sum_{k=0}^{n-1} 2^k = 2^n - 1.
Explicando rapidamente por que: seja S=\sum_{k=0}^{n-1}2^k. Então 2S=\sum_{k=0}^{n-1}2^{k+1}=\sum_{k=1}^{n}2^k. Subtraindo S de 2S sobra somente 2^n-1, logo S=2^n-1.

Passo 6

Aqui n=8, então
\sum_{k=0}^{7}2^k = 2^8 - 1.
Calculando:
2^8 = 256 \quad\Rightarrow\quad 2^8 - 1 = 256 - 1 = 255.

Passo 7

Também podemos conferir somando os termos individuais (pegando os valores dos pesos do Passo 3):
128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 255.
Portanto o binário \text{11111111}_2 corresponde ao decimal \,255.

Resposta

\,255

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