Qual é o número máximo representável com 8 bits em base 2 ?
Passo 1
O enunciado pergunta qual é o número máximo que pode ser representado usando exatamente 8 bits em base 2.
Informação dada: temos bits (cada bit vale 0 ou 1).
O que precisa encontrar: o maior valor numérico possível usando esses bits.
Informação dada: temos
O que precisa encontrar: o maior valor numérico possível usando esses
Passo 2
Vamos entender como funciona a representação posicional em base 2 (binária). Cada bit ocupa uma posição e cada posição tem um “peso” que é uma potência de
. Se um bit está ligado (vale
), ele contribui com o peso daquela posição; se está desligado (vale
), contribui com
. Em termos práticos, um número binário com bits
vale:
onde cada
é
ou
, e
é o peso da posição
(com
sendo o bit menos significativo).
Passo 3
Listemos os pesos das
posições (peguei a informação de “8 bits” do enunciado):
Numericamente esses pesos são:
Passo 4
Para obter o número máximo, precisamos que cada bit que possa contribuir esteja no valor máximo possível, ou seja, todos os bits iguais a
. Assim o maior número em 8 bits é o binário:
que em valor decimal é a soma de todos os pesos listados:
Passo 5
Podemos calcular essa soma usando a soma de uma progressão geométrica. A soma das potências de
de
até
é
Explicando rapidamente por que: seja
. Então
. Subtraindo
de
sobra somente
, logo
.
Passo 6
Aqui
, então
Calculando:
Passo 7
Também podemos conferir somando os termos individuais (pegando os valores dos pesos do Passo 3):
Portanto o binário
corresponde ao decimal
.