Expresse \frac{\partial w}{\partial r}, dados w=x^{2}+y^{2}, x=r-s, y=r+s.

Passo 1

O enunciado define
w = x^{2} + y^{2},
x = r - s e
y = r + s,
e pede \frac{\partial w}{\partial r}.
O conteúdo usado será derivada parcial e regra da cadeia para funções compostas por variáveis intermediárias.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais elementares:
\frac{\partial w}{\partial x} = 2x,
\frac{\partial w}{\partial y} = 2y,
\frac{\partial x}{\partial r} = 1 e
\frac{\partial y}{\partial r} = 1.

Passo 3

Pela regra da cadeia para variáveis intermediárias, vale
\frac{\partial w}{\partial r} = \frac{\partial w}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial r} + \frac{\partial w}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial r}.

Passo 4

Substituindo as derivadas encontradas, obtemos
\frac{\partial w}{\partial r} = 2x\cdot1 + 2y\cdot1 = 2\,(x+y).
Como x+y = (r - s) + (r + s) = 2r, segue
\frac{\partial w}{\partial r} = 2\cdot 2r = 4r.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial w}{\partial r} = 4r

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