Calcule as integrais a seguir explicitando todos os cálculos e as técnicas de integração utilizadas.
\int_{2}^{\infty} \frac{d x}{x^{2}+5 x+6}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x^2+5x+6}.
O conteúdo envolvido é o de integrais impróprias e a técnica de frações parciais para integrar funções racionais. Vamos precisar:
  1. fatorar o denominador,
  2. escrever a decomposição em frações parciais,
  3. integrar cada parcela,
  4. avaliar o limite quando o limite superior tende a \infty.

Passo 2

Fatoramos o denominador para facilitar a decomposição:
x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3).

Passo 3

Escrevemos a fração original como soma de termos simples:
\frac{1}{(x+2)(x+3)} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x+3}.
Multiplicando ambos os lados por (x+2)(x+3), obtemos
1 = A(x+3) + B(x+2).
Escolhendo x=-3 1 = B(-1), logo B = -1.
Escolhendo x=-2 1 = A(1), logo A = 1.
Portanto
\frac{1}{(x+2)(x+3)} = \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3}.

Passo 4

Integramos cada parcela:
\int \frac{dx}{x+2} = \ln|x+2| + C, \quad \int \frac{dx}{x+3} = \ln|x+3| + C.
Assim, uma antiderivada é
F(x) = \ln|x+2| - \ln|x+3| = \ln\!\bigl|\tfrac{x+2}{x+3}\bigr|.

Passo 5

Definimos a integral imprópria como limite:
\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x^2+5x+6} = \lim_{t\to\infty}\int_{2}^{t}\frac{dx}{x^2+5x+6} = \lim_{t\to\infty}\bigl[F(t)-F(2)\bigr].
Substituindo F,
F(t)-F(2) = \ln\!\bigl|\tfrac{t+2}{t+3}\bigr| - \ln\!\bigl|\tfrac{2+2}{2+3}\bigr| = \ln\!\bigl(\tfrac{t+2}{t+3}\bigr) - \ln\!\bigl(\tfrac{4}{5}\bigr).

Passo 6

Calculamos o limite quando t\to\infty:
\lim_{t\to\infty}\ln\!\bigl(\tfrac{t+2}{t+3}\bigr) = \ln\!\bigl(\lim_{t\to\infty}\tfrac{t+2}{t+3}\bigr) = \ln(1) = 0.
Logo o valor da integral é
0 - \ln\!\bigl(\tfrac{4}{5}\bigr) = -\ln\!\bigl(\tfrac{4}{5}\bigr) = \ln\!\bigl(\tfrac{5}{4}\bigr).

Resposta

\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x^2+5x+6} = \ln\!\bigl(\tfrac{5}{4}\bigr).

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