Calcule as integrais a seguir explicitando todos os cálculos e as técnicas de integração utilizadas.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
O conteúdo envolvido é o de integrais impróprias e a técnica de frações parciais para integrar funções racionais. Vamos precisar:
- fatorar o denominador,
- escrever a decomposição em frações parciais,
- integrar cada parcela,
- avaliar o limite quando o limite superior tende a
.
Passo 2
Fatoramos o denominador para facilitar a decomposição:
Passo 3
Escrevemos a fração original como soma de termos simples:
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos
Escolhendo
dá
, logo
.
Escolhendo dá
, logo
.
Portanto
Escolhendo
Portanto
Passo 4
Integramos cada parcela:
Assim, uma antiderivada é
Passo 5
Definimos a integral imprópria como limite:
Substituindo
,
Passo 6
Calculamos o limite quando
:
Logo o valor da integral é