Calcule as integrais a seguir explicitando todos os cálculos e as técnicas de integração utilizadas.
\int_{-1}^{0} x^{2} \sqrt{x+1} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{-1}^{0} x^{2}\sqrt{x+1}\,dx
Aqui vamos usar a técnica de substituição para eliminar a raiz e depois aplicar a fórmula de integral de potências.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = x + 1
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x = t - 1 \quad\text{e}\quad dx = dt.
Quando x=-1 temos t=0 e quando x=0 temos t=1.

Passo 3

Em função de t a integral fica
\int_{x=-1}^{x=0} x^{2}\sqrt{x+1}\,dx = \int_{t=0}^{t=1} (t-1)^{2}\,\sqrt{t}\,dt.
Expandindo (t-1)^{2}=t^{2}-2t+1 e \sqrt{t}=t^{1/2}, obtemos
\int_{0}^{1} (t^{2}-2t+1)\,t^{1/2}\,dt = \int_{0}^{1} \bigl(t^{5/2}-2t^{3/2}+t^{1/2}\bigr)\,dt.

Passo 4

Integramos termo a termo usando \displaystyle\int t^{\alpha}\,dt=\frac{t^{\alpha+1}}{\alpha+1}:
\int t^{5/2}\,dt = \frac{t^{7/2}}{7/2} = \frac{2}{7}\,t^{7/2},\quad \int t^{3/2}\,dt = \frac{t^{5/2}}{5/2} = \frac{2}{5}\,t^{5/2},\quad \int t^{1/2}\,dt = \frac{t^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}\,t^{3/2}.
Portanto a antiderivada é
F(t)=\frac{2}{7}t^{7/2}-2\cdot\frac{2}{5}t^{5/2}+\frac{2}{3}t^{3/2} = \frac{2}{7}t^{7/2}-\frac{4}{5}t^{5/2}+\frac{2}{3}t^{3/2}.

Passo 5

Avaliaremos F(t) de 0 a 1:
F(1)-F(0) = \Bigl(\frac{2}{7}-\frac{4}{5}+\frac{2}{3}\Bigr) - 0 = \frac{2}{7}-\frac{4}{5}+\frac{2}{3}.
Colocando em denominador comum 105:
\frac{2}{7}=\frac{30}{105},\quad -\frac{4}{5}=-\frac{84}{105},\quad \frac{2}{3}=\frac{70}{105},
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\frac{30-84+70}{105}=\frac{16}{105}.

Resposta

\displaystyle \frac{16}{105}

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