A função f(x)=x^{3}+x+8 possui uma única raiz no intervalo (-2,-1). Calcule-a usando o Método do Ponto Fixo com precisões \varepsilon_{1}=\varepsilon_{2}=10^{-3} e usando 4 casas decimais: DADOS:
  • x_{0}=-1,5
  • \varphi(x)=\sqrt[3]{-x-8}
Iteração x_{k} \left|x_{k}-x_{k-1}\right| \left|f\left(x_{k}\right)\right|

Passo 1

O enunciado pede a raiz de f(x)=x^{3}+x+8 no intervalo (-2,-1) usando o Método do Ponto Fixo. Temos o ponto inicial
x_{0}=-1,5000,
a função de iteração
\varphi(x)=\sqrt[3]{-x-8},
e os critérios de parada
|x_{k}-x_{k-1}|<\varepsilon_{1}=10^{-3} \quad\text{e}\quad |f(x_{k})|<\varepsilon_{2}=10^{-3}.
Vamos aplicar o método até que ambos os critérios sejam satisfeitos, arredondando cada x_{k} a quatro casas decimais.

Passo 2

Para garantir convergência usamos o fato de que, se |\varphi'(x)|\le L<1 em [-2,-1], a iteração converge. Calculamos
\varphi'(x) =-\frac{1}{3(-x-8)^{2/3}}.
No nosso intervalo -x-8\in[-6,-7], temos
|\varphi'(x)|\le\frac{1}{3\,(6)^{2/3}}\approx0,10<1,
logo \varphi é contração e o método converge.

Passo 3

A cada iteração define-se
x_{k}=\varphi(x_{k-1})=\sqrt[3]{-\,x_{k-1}-8},
arredondando x_{k} a quatro casas decimais. Calcula-se também
\;|x_{k}-x_{k-1}|\; e \;|f(x_{k})|=|x_{k}^{3}+x_{k}+8|\; para verificar os critérios de parada.

Passo 4

Aplicando as fórmulas e arredondando, obtemos a tabela de iterações:
\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Iteração }k & x_{k} & |x_{k}-x_{k-1}| & |f(x_{k})|\\\ \hline 1 & -1{,}8680 & 0{,}3680 & 0{,}3860\\\\ 2 & -1{,}8315 & 0{,}0365 & 0{,}0256\\\\ 3 & -1{,}8342 & 0{,}0027 & 0{,}0030\\\\ 4 & -1{,}8339 & 0{,}0003 & 0{,}0014\\\\ 5 & -1{,}8338 & 0{,}0001 & 0{,}0003\\\ \hline \end{array}
Na iteração k=5 ambos |x_{5}-x_{4}|<10^{-3} e |f(x_{5})|<10^{-3} são satisfeitos, portanto paramos.

Resposta

A raiz aproximada é
x\approx -1{,}8338.

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