R: 1,4907
03) Dada a tabela abaixo, calcule a \int_{100}^{108} \mathrm{f}(\mathrm{x}) \mathrm{dx}.
x
100
102
104
106
108
\mathrm{~F}(\mathrm{x})
2,0000000
2,0086002
2,0170333
2,0253059
2,0334238
Pela Regra do Trapézio Composto. R: 16,14.
04) Um terreno está limitado por uma cerca reta e por um rio. As diferentes distâncias X (em metros) de uma extremidade da cerca ao rio, que é a largura Y do terreno (em metros) foram medidas, e os valores encontram-se na tabela abaixo:
X
0
20
40
60
80
100
120
Y
0
22
41
53
38
17
0
Determine a área aproximada do terreno utilizando a Regra do Trapézio Composto. R: 3420 \mathrm{~m}^{2}.
05) Um hospital psiquiátrico acaba de ser inaugurado. O hospital aceita inicialmente 300 pacientes para tratamento e pretende aceitar novos pacientes a taxa de 10 por mês. Seja f(t) a fração de pacientes para tratamento que recebem tratamento continuamente durante pelo menos t dias. Nos primeiros 60 dias, os valores de f(t) constam na tabela abaixo:
\mathbf{T} (dias)
\mathbf{0}
\mathbf{5}
\mathbf{10}
\mathbf{1 5}
\mathbf{20}
\mathbf{25}
\mathbf{30}
\mathbf{35}
\mathbf{f ( t )}
\mathbf{1}
\mathbf{48}
\mathbf{3 7}
\mathbf{39}
\mathbf{55}
\mathbf{60}
\mathbf{60}
\mathbf{55}
\mathbf{T} (dias)
40
45
50
55
60
35
\mathbf{f}(\mathbf{t})
\mathbf{50}
\mathbf{67}
\mathbf{58}
\mathbf{4 5}
\mathbf{4 9}
Use estas informações e a regra do trapézio composto para estimar o número de pacientes que permanecem internados na clinica por 60 dias após a inauguração. R: 18 pacientes.
06) Roberto e Marisa, estão viajando estão viajando de carro e o hidrômetro enguiçou. Para determinar a distância percorrida entre 14 h e 15 h , Mariza anota as indicações do velocímetro a cada 5 minutos, que aparecem na tabela abaixo:
Minuto após ás 14 h
0
5
10
15
20
25
30
Velocímetro (\mathrm{m} / \mathrm{s})
45
48
37
39
55
60
60
Minuto após ás 14 h
35
40
45
50
55
60
Velocímetro (\mathrm{m} / \mathrm{s})
55
50
67
58
45
49
Use a regra do trapézio composto para estima a distância percorrida pelo carro no período em questão? R: 51,75 \mathrm{~km}
07) No primeiro dia de cada mês, o gerente de uma pequena empresa estima a taxa com a qual o lucro deverá aumentar durante o mês. Os resultados para os 6 primeiros meses do ano aparecem na tabela a seguir, onde P^{\prime}(t) é a taxa de aumento do lucro em milhares de reais por mês onde t(t=1 para janeiro e t=6 para junho). Use essas informações e a regra do trapézio composto para estimar o lucro total obtido pela empresa durante o período de 6 meses, de janeiro a junho. R: R \ 3.790,00$.
\mathbf{t} (mês)
1
2
3
4
5
6
Taxa de Lucro P'(t)
0,65
0,43
0,72
0,81
1,02
0,97
Passo 1
O enunciado reúne sete problemas todos baseados na Regra do Trapézio (simples e composto) para aproximar integrais (ou somatórios discretos) e, quando possível, compara com o valor exato obtido por integração analítica. O conteúdo necessário é:
Fórmula do Trapézio Simples:
T = \frac{b - a}{2}\bigl(f(a) + f(b)\bigr).
Fórmula do Trapézio Composto com n subintervalos de tamanho h=\frac{b-a}{n}:
Técnicas de integração exata: primitivas de potências, logaritmo, exponencial, etc.
Em cada problema vamos aplicar a fórmula do trapézio, depois obter o valor exato (quando existir) e comparar ou, no caso de dados tabulados, usar diretamente a regra composta.
Passo 2
Exercício 01 – Trapézio Simples versus valor exato
Aplicando
T=\frac{b-a}{2}\bigl(f(a)+f(b)\bigr)
e, sempre que possível, calculando \displaystyle \int_a^b f(x)\,dx analiticamente:
\bullet \displaystyle\int_{0}^{2}e^{x^2}\,dx: T=\tfrac{2-0}{2}\bigl(1+e^4\bigr)=55{,}5982.
Não há primitiva elementar; esse valor é a aproximação pelo trapézio simples.
Passo 3
Exercício 02 – Trapézio Composto versus valor exato
Usando
01) Trapézio Simples versus exato: 1) 1{,}3333 vs \ln 3 \approx 1{,}09862) 580 vs 251{,}46673) 0{,}8536 vs 0{,}82844) 0{,}8959 vs 0{,}90955) 8{,}6060 vs 7{,}70316) 55{,}5982 (sem primitiva elemental)
02) Trapézio Composto versus exato: 1) 0{,}6932 vs 0{,}69312) 0{,}5090 vs 0{,}50003) 6{,}6113 vs 4{,}00004) 2{,}6967 vs 2{,}79755) 0{,}2438 vs 0{,}38636) 1{,}4907 (sem primitiva elemental)