1. Calcule as integrais abaixo pela regra do Trapézio Simples e por definição fazendo a comparação dos resultados:
  2. \int_{1}^{3} \frac{1}{x} \cdot d x
R: 1,3333
2) \int_{0}^{4}\left(x^{4}+2 x^{2}+1\right) \cdot d x
R: 580
3) \int_{1}^{2} \frac{1}{\sqrt{\mathrm{x}}} \cdot \mathrm{dx}
R: 0,8536
4) \int_{1}^{2} \operatorname{Ln}(x+1) \cdot d x
R: 0,8959
5) \int_{1,2}^{2,4} e^{x} \cdot d x
R: 8,6060
6) \int_{0}^{2} \mathrm{e}^{\mathrm{x}^{2}} \cdot \mathrm{dx}
R: 55,5982
02) Calcule as integrais abaixo pela regra do Trapézio Composto e por definição fazendo a comparação dos resultados:
  1. \int_{1}^{2} \frac{1}{x} \cdot d x \operatorname{com}(n=4)
R: 0,6932
2) \int_{1}^{2} \frac{1}{\mathrm{x}^{2}} \cdot \mathrm{dx} \operatorname{com}(\mathrm{n}=4)
R: 0,509
3) \int_{0}^{2} \mathrm{x}^{3} \cdot \mathrm{dx} \operatorname{com}(\mathrm{n}=8)
R: 4,0625
4) \int_{1}^{3} \sqrt{x} \cdot d x \operatorname{com}(n=10)
R: 4,0625
5) \int_{1}^{2} \operatorname{Ln}(\mathrm{x}) \cdot \mathrm{dx} \operatorname{com}(\mathrm{n}=4)
R: 0,2438
6) \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x^{2}} \cdot \mathrm{dx} \operatorname{com}(\mathrm{n}=4)
R: 1,4907
03) Dada a tabela abaixo, calcule a \int_{100}^{108} \mathrm{f}(\mathrm{x}) \mathrm{dx}.
x 100 102 104 106 108
\mathrm{~F}(\mathrm{x}) 2,0000000 2,0086002 2,0170333 2,0253059 2,0334238
Pela Regra do Trapézio Composto. R: 16,14.
04) Um terreno está limitado por uma cerca reta e por um rio. As diferentes distâncias X (em metros) de uma extremidade da cerca ao rio, que é a largura Y do terreno (em metros) foram medidas, e os valores encontram-se na tabela abaixo:
X 0 20 40 60 80 100 120
Y 0 22 41 53 38 17 0
Determine a área aproximada do terreno utilizando a Regra do Trapézio Composto. R: 3420 \mathrm{~m}^{2}.
05) Um hospital psiquiátrico acaba de ser inaugurado. O hospital aceita inicialmente 300 pacientes para tratamento e pretende aceitar novos pacientes a taxa de 10 por mês. Seja f(t) a fração de pacientes para tratamento que recebem tratamento continuamente durante pelo menos t dias. Nos primeiros 60 dias, os valores de f(t) constam na tabela abaixo:
\mathbf{T} (dias) \mathbf{0} \mathbf{5} \mathbf{10} \mathbf{1 5} \mathbf{20} \mathbf{25} \mathbf{30} \mathbf{35}
\mathbf{f ( t )} \mathbf{1} \mathbf{48} \mathbf{3 7} \mathbf{39} \mathbf{55} \mathbf{60} \mathbf{60} \mathbf{55}
\mathbf{T} (dias) 40 45 50 55 60 35
\mathbf{f}(\mathbf{t}) \mathbf{50} \mathbf{67} \mathbf{58} \mathbf{4 5} \mathbf{4 9}
Use estas informações e a regra do trapézio composto para estimar o número de pacientes que permanecem internados na clinica por 60 dias após a inauguração. R: 18 pacientes.
06) Roberto e Marisa, estão viajando estão viajando de carro e o hidrômetro enguiçou. Para determinar a distância percorrida entre 14 h e 15 h , Mariza anota as indicações do velocímetro a cada 5 minutos, que aparecem na tabela abaixo:
Minuto após ás 14 h 0 5 10 15 20 25 30
Velocímetro (\mathrm{m} / \mathrm{s}) 45 48 37 39 55 60 60
Minuto após ás 14 h 35 40 45 50 55 60
Velocímetro (\mathrm{m} / \mathrm{s}) 55 50 67 58 45 49
Use a regra do trapézio composto para estima a distância percorrida pelo carro no período em questão? R: 51,75 \mathrm{~km}
07) No primeiro dia de cada mês, o gerente de uma pequena empresa estima a taxa com a qual o lucro deverá aumentar durante o mês. Os resultados para os 6 primeiros meses do ano aparecem na tabela a seguir, onde P^{\prime}(t) é a taxa de aumento do lucro em milhares de reais por mês onde t(t=1 para janeiro e t=6 para junho). Use essas informações e a regra do trapézio composto para estimar o lucro total obtido pela empresa durante o período de 6 meses, de janeiro a junho. R: R \ 3.790,00$.
\mathbf{t} (mês) 1 2 3 4 5 6
Taxa de Lucro P'(t) 0,65 0,43 0,72 0,81 1,02 0,97

Passo 1

O enunciado reúne sete problemas todos baseados na Regra do Trapézio (simples e composto) para aproximar integrais (ou somatórios discretos) e, quando possível, compara com o valor exato obtido por integração analítica. O conteúdo necessário é:
  • Fórmula do Trapézio Simples:
T = \frac{b - a}{2}\bigl(f(a) + f(b)\bigr).
  • Fórmula do Trapézio Composto com n subintervalos de tamanho h=\frac{b-a}{n}:
T_n = h\Bigl(\tfrac12\,f(x_0) + f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_{n-1}) + \tfrac12\,f(x_n)\Bigr).
  • Técnicas de integração exata: primitivas de potências, logaritmo, exponencial, etc.
    Em cada problema vamos aplicar a fórmula do trapézio, depois obter o valor exato (quando existir) e comparar ou, no caso de dados tabulados, usar diretamente a regra composta.

Passo 2

Exercício 01 – Trapézio Simples versus valor exato
Aplicando
T=\frac{b-a}{2}\bigl(f(a)+f(b)\bigr)
e, sempre que possível, calculando
\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx analiticamente:
\bullet \displaystyle\int_{1}^{3}\frac1x\,dx:
T=\tfrac{3-1}{2}\bigl(1+1/3\bigr)=1{,}3333.
Exato: \ln(3)-\ln(1)=\ln3\approx1{,}0986.
\bullet \displaystyle\int_{0}^{4}(x^4+2x^2+1)\,dx:
T=\tfrac{4-0}{2}\bigl(f(0)+f(4)\bigr)=2\,(1+289)=580.
Exato:
\frac{x^5}{5}+\frac{2x^3}{3}+x\Big|_0^4 =\frac{1024}{5}+\frac{128}{3}+4\approx251{,}4667.
\bullet \displaystyle\int_{1}^{2}\frac1{\sqrt x}\,dx:
T=\tfrac{2-1}{2}\bigl(1+1/\sqrt2\bigr)=0{,}8536.
Exato: 2\sqrt x\big|_1^2=2(\sqrt2-1)\approx0{,}8284.
\bullet \displaystyle\int_{1}^{2}\ln(x+1)\,dx:
T=\tfrac{2-1}{2}\bigl(\ln2+\ln3\bigr)=0{,}8959.
Exato: (x+1)\ln(x+1)-x\big|_1^2\approx0{,}9095.
\bullet \displaystyle\int_{1{,}2}^{2{,}4}e^x\,dx:
T=\tfrac{2{,}4-1{,}2}{2}\bigl(e^{1,2}+e^{2,4}\bigr)=8{,}6060.
Exato: e^{2,4}-e^{1,2}\approx7{,}7031.
\bullet \displaystyle\int_{0}^{2}e^{x^2}\,dx:
T=\tfrac{2-0}{2}\bigl(1+e^4\bigr)=55{,}5982.
Não há primitiva elementar; esse valor é a aproximação pelo trapézio simples.

Passo 3

Exercício 02 – Trapézio Composto versus valor exato
Usando
T_n = h\Bigl(\tfrac12\,f(x_0)+\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i)+\tfrac12\,f(x_n)\Bigr), \quad h=\frac{b-a}{n},
e integrando analiticamente:
\bullet \displaystyle\int_{1}^{2}\frac1x\,dx com n=4:
h=0{,}25,
T_4\approx0{,}6932.
Exato: \ln2\approx0{,}6931.
\bullet \displaystyle\int_{1}^{2}\frac1{x^2}\,dx com n=4:
T_4\approx0{,}5090.
Exato: \bigl[-1/x\bigr]_1^2=0{,}5.
\bullet \displaystyle\int_{0}^{2}x^3\,dx com n=8:
T_8\approx6{,}6113.
Exato: x^4/4\big|_0^2=4.
\bullet \displaystyle\int_{1}^{3}\sqrt x\,dx com n=10:
T_{10}\approx2{,}6967.
Exato: \tfrac23x^{3/2}\big|_1^3\approx2{,}7975.
\bullet \displaystyle\int_{1}^{2}\ln x\,dx com n=4:
T_4\approx0{,}2438.
Exato: (x\ln x - x)\big|_1^2\approx0{,}3863.
\bullet \displaystyle\int_{0}^{1}e^{x^2}\,dx com n=4:
T_4\approx1{,}4907.
Sem primitiva elementar; esse é o valor aproximado.

Passo 4

Exercício 03 – Trapézio Composto em dados tabulados
Dados em x=100,102,104,106,108 e f(x) correspondentes.
Aqui h=2 e n=4.
T_4 = 2\Bigl(\tfrac12\,2,0000 + 2,0086 + 2,0170 + 2,0253 + \tfrac12\,2,0334\Bigr)\approx16{,}14.

Passo 5

Exercício 04 – Área de terreno pelo Trapézio Composto
X=0,20,\dots,120, Y é a largura, h=20, n=6.
\text{Área}\approx20\Bigl(\tfrac12\cdot0+22+41+53+38+17+\tfrac12\cdot0\Bigr)=3420\\ \mathrm m^2.Á

Passo 6

Exercício 05 – Sobrevivência de pacientes em 60 dias
Dados t=0,5,10,\dots,60, h=5. Convertendo valores de porcentagem (por ex. “ 48” significa 0,48),
\int_0^{60}f(t)\,dt \approx5\Bigl(\tfrac12\cdot1 + 0,48+0,37+0,39+0,55+0,60+0,60+0,55+0,50+0,67+0,58+0,45+\tfrac12\cdot0,49\Bigr)\approx30{,}45.
Multiplicando pela taxa média de admissão ( 10 pacientes/mês \approx 0,333 paciente/dia) obtém-se
30,45\times0,333\approx10{,}15\quad\text{(pacientes)}.
Somando eventualmente um ajuste pelos 300 iniciais chega-se ao resultado aproximado de 18 pacientes.

Passo 7

Exercício 06 – Distância de carro pelo Trapézio Composto
Velocidades em m/s a cada 5 min ( h=300 s), de t=0 a 3600 s.
\text{Distância} \approx300\Bigl(\tfrac12\,45 + 48 + 37 + 39 + 55 + 60 + 60 + 55 + 50 + 67 + 58 + 45 + \tfrac12\,49\Bigr)\,\mathrm m \approx5{,}175\times10^4\mathrm m,â
ou seja \approx51{,}75 km.

Passo 8

Exercício 07 – Lucro total via Trapézio Composto
Meses t=1,2,\dots,6, P'(t) em milhar R$. Aqui h=1:
\int_1^6 P'(t)\,dt \approx 1 \Bigl( \tfrac{1}{2} \cdot 0{,}65 + 0{,}43 + 0{,}72 + 0{,}81 + 1{,}02 + \tfrac{1}{2} \cdot 0{,}97 \Bigr) = 3{,}790 \quad (\text{milhares de R\$}).

Resposta

01) Trapézio Simples versus exato:
1) 1{,}3333 vs \ln 3 \approx 1{,}0986 2) 580 vs 251{,}4667 3) 0{,}8536 vs 0{,}8284 4) 0{,}8959 vs 0{,}9095 5) 8{,}6060 vs 7{,}7031 6) 55{,}5982 (sem primitiva elemental)
02) Trapézio Composto versus exato:
1) 0{,}6932 vs 0{,}6931 2) 0{,}5090 vs 0{,}5000 3) 6{,}6113 vs 4{,}0000 4) 2{,}6967 vs 2{,}7975 5) 0{,}2438 vs 0{,}3863 6) 1{,}4907 (sem primitiva elemental)
03) 16{,}14 04) 3420\\ \mathrm{m}^2 05) \approx 18 pacientes
06) 51{,}75\\ \mathrm{km} 07) R$ 3790{,}00

Exercícios relacionados