Faça uma aproximação trigonométrica da seguinte função:
f(x)=c -1,-pi <= x<0 3,0 <= x

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente fazer uma aproximação trigonométrica (ou seja, a série de Fourier) da função
f(x)= -1, & -pi <= x <0, ;;3, & 0<= x
usando até . Vou te mostrar passo a passo como calcular os coeficientes , e , montando a série
.

Passo 2

Primeiro, a0 = 1piintegral-pi^pif(x),dx :
Por definição,
a0 = 1pi,(2pi) = 2,
A gente quebra em dois pedaços:
  • De a , , então .
  • De a , , então .
    Somando: .
    Logo
e o termo constante na série é .

Passo 3

Agora an = 1piintegral-pi^pif(x)cos(nx),dx pra :
De novo em dois pedaços:

  1. Resultado: para todo .

Passo 4

Agora bn = 1piintegral-pi^pif(x)sin(nx),dx pra integral-pi^0(-1)sin(nx),dx = -l[-cos(nx)nr]-pi^0 = -(-1)^n-1n :
integral0^pi3sin(nx),dx = 3l[-cos(nx)nr]0^pi = 3,1-(-1)^nn
De novo em dois pedaços:
  1. De bn = 1pi,4l(1-(-1)^nr)n a bn = 8pi n, & n ímpar, 0, & n par :
  1. De a :
Somando e dividindo por :
Repara que se é par, ; se é ímpar, .
Logo
í

Passo 5

Como a gente quer até f6(x) ;=;a02 +sumn=1^6l(ancos nx + bnsin nxr) ;=;1 ;+;sumsubstackn=1,3,5 8pi n,sin(nx) , só entram os termos ímpares . A série truncada fica

Resposta

boxed f(x)approx f6(x) = 1 ;+;8pil(sin x ;+;tfrac13sin(3x);+;tfrac15sin(5x)r)

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