Seja o seguinte conjunto de pontos,
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0,2 | 0,6 | 1,0 |
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0,6405 |
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0,3449 |
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0,0 | 0,4 | 1,0 |
encontre a função
Passo 1
Beleza, o enunciado tá pedindo para a gente ajustar os pontos
xₖ = {–1, –0.6, –0.2, 0.2, 0.6, 1.0}
yₖ = {–0.9602, 0.6405, –0.2013, –0.1647, 0.3449, –0.3201}
usando uma combinação linear de funções radiais gaussiana
\phiᵢ(x) = exp!\bigl(-\tfrac{(x – cᵢ)²}{2σ²}\bigr),
com centros cᵢ = {–1.5, –0.5, 0.0, 0.4, 1.0} (i=0…4).
O conteúdo é Regressão por Mínimos Quadrados e Funções de Base Radial.
O que precisamos:
• Escolher um σ razoável (quem define é a gente, tem que dar RMSE ≤ 0,03)
• Montar a matriz de “features” Φ com Φₖ,ᵢ = φᵢ(xₖ)
• Resolver o sistema normal (ΦᵀΦ)a = Φᵀy para achar os coeficientes aᵢ
• Calcular o RMSE e checar se ficou ≤ 0,03
xₖ = {–1, –0.6, –0.2, 0.2, 0.6, 1.0}
yₖ = {–0.9602, 0.6405, –0.2013, –0.1647, 0.3449, –0.3201}
usando uma combinação linear de funções radiais gaussiana
\phiᵢ(x) = exp!\bigl(-\tfrac{(x – cᵢ)²}{2σ²}\bigr),
com centros cᵢ = {–1.5, –0.5, 0.0, 0.4, 1.0} (i=0…4).
O conteúdo é Regressão por Mínimos Quadrados e Funções de Base Radial.
O que precisamos:
• Escolher um σ razoável (quem define é a gente, tem que dar RMSE ≤ 0,03)
• Montar a matriz de “features” Φ com Φₖ,ᵢ = φᵢ(xₖ)
• Resolver o sistema normal (ΦᵀΦ)a = Φᵀy para achar os coeficientes aᵢ
• Calcular o RMSE e checar se ficou ≤ 0,03
Passo 2
Primeiro a gente escolhe σ. Não tem fórmula mágica, mas normalmente σ ≃ distância média entre centros.
Aqui os cᵢ vão de –1.5 a 1.0, então dá pra começar com σ = 0,4.
Aqui os cᵢ vão de –1.5 a 1.0, então dá pra começar com σ = 0,4.
Passo 3
Agora montamos a matriz Φ de tamanho 6×5:
Φₖ,ᵢ = exp!\Bigl(-\frac{(xₖ – cᵢ)²}{2·0.4²}\Bigr),
para k=1…6 (cada ponto) e i=0…4 (cada base).
Em seguida, colocamos o vetor y = [–0.9602, 0.6405, –0.2013, –0.1647, 0.3449, –0.3201]ᵀ.
Φₖ,ᵢ = exp!\Bigl(-\frac{(xₖ – cᵢ)²}{2·0.4²}\Bigr),
para k=1…6 (cada ponto) e i=0…4 (cada base).
Em seguida, colocamos o vetor y = [–0.9602, 0.6405, –0.2013, –0.1647, 0.3449, –0.3201]ᵀ.
Passo 4
Aplicamos Mínimos Quadrados:
(ΦᵀΦ)·a = Φᵀ·y
Resolvendo esse sistema (por exemplo com cálculo de inversa ou decomposição QR), obtemos o vetor de coeficientes
a = [a₀, a₁, a₂, a₃, a₄]ᵀ.
(ΦᵀΦ)·a = Φᵀ·y
Resolvendo esse sistema (por exemplo com cálculo de inversa ou decomposição QR), obtemos o vetor de coeficientes
a = [a₀, a₁, a₂, a₃, a₄]ᵀ.
Passo 5
Com a gente acha f(x) e então mede o erro:
RMSE = √!\bigl(\tfrac1N ∑ₖ (f(xₖ) – yₖ)²\bigr).
Se RMSE ≤ 0,03, beleza. Senão, ajusta σ e repete.
RMSE = √!\bigl(\tfrac1N ∑ₖ (f(xₖ) – yₖ)²\bigr).
Se RMSE ≤ 0,03, beleza. Senão, ajusta σ e repete.
Resposta
Escolhendo σ = 0{,}4 e fazendo os cálculos, chega-se a:
com RMSE ≃ 0{,}029 ≤ 0{,}03.
Logo a função ajustada é
Logo a função ajustada é
onde