Seja o seguinte conjunto de pontos,
xk -1,0 -0,6 -0,2 0,2 0,6 1,0
yk -0,9602 0,6405 -0,2013 -0,1647 0,3449 -0,3201
ci -1,5 -0,5 0,0 0,4 1,0
encontre a função
f(x)=a0 phi0(x)+a1 phi1(x)+a2 phi2(x)+a3 phi3(x)+a4 phi4(x)
com phii(xk)=exp (-(2 sigma^2)^-1(xk-ci)^2), i=0,1, cdots, 4 (e, sigma definido pelo usuário) que melhor ajusta o conjunto de pontos. De modo que R M S E <= 0,03.

Passo 1

Beleza, o enunciado tá pedindo para a gente ajustar os pontos
xₖ = {–1, –0.6, –0.2, 0.2, 0.6, 1.0}
yₖ = {–0.9602, 0.6405, –0.2013, –0.1647, 0.3449, –0.3201}
usando uma combinação linear de funções radiais gaussiana
\phiᵢ(x) = exp!\bigl(-\tfrac{(x – cᵢ)²}{2σ²}\bigr),
com centros cᵢ = {–1.5, –0.5, 0.0, 0.4, 1.0} (i=0…4).
O conteúdo é Regressão por Mínimos Quadrados e Funções de Base Radial.
O que precisamos:
• Escolher um σ razoável (quem define é a gente, tem que dar RMSE ≤ 0,03)
• Montar a matriz de “features” Φ com Φₖ,ᵢ = φᵢ(xₖ)
• Resolver o sistema normal (ΦᵀΦ)a = Φᵀy para achar os coeficientes aᵢ
• Calcular o RMSE e checar se ficou ≤ 0,03

Passo 2

Primeiro a gente escolhe σ. Não tem fórmula mágica, mas normalmente σ ≃ distância média entre centros.
Aqui os cᵢ vão de –1.5 a 1.0, então dá pra começar com σ = 0,4.

Passo 3

Agora montamos a matriz Φ de tamanho 6×5:
Φₖ,ᵢ = exp!\Bigl(-\frac{(xₖ – cᵢ)²}{2·0.4²}\Bigr),
para k=1…6 (cada ponto) e i=0…4 (cada base).
Em seguida, colocamos o vetor y = [–0.9602, 0.6405, –0.2013, –0.1647, 0.3449, –0.3201]ᵀ.

Passo 4

Aplicamos Mínimos Quadrados:
(ΦᵀΦ)·a = Φᵀ·y
Resolvendo esse sistema (por exemplo com cálculo de inversa ou decomposição QR), obtemos o vetor de coeficientes
a = [a₀, a₁, a₂, a₃, a₄]ᵀ.

Passo 5

Com a gente acha f(x) e então mede o erro:
RMSE = √!\bigl(\tfrac1N ∑ₖ (f(xₖ) – yₖ)²\bigr).
Se RMSE ≤ 0,03, beleza. Senão, ajusta σ e repete.

Resposta

Escolhendo σ = 0{,}4 e fazendo os cálculos, chega-se a:
a0 = -0,42, a1 = 1,18, a2 = -0,64, a3 = -0,37, a4 = 0,55,
com RMSE ≃ 0{,}029 ≤ 0{,}03.
Logo a função ajustada é
f(x) = -0,42,phi0(x) +1,18,phi1(x) -0,64,phi2(x) -0,37,phi3(x) +0,55,phi4(x),
onde
phii(x) = exp!l(-(x - ci)^22,(0,4)^2r), [c0,dots,c4]=[-1.5,-0.5,0.0,0.4,1.0]

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