Obter uma aproximação de quarta ordem para a função:
f(x)=c -1,-pi <= x<0 1,0 <= x

Passo 1

Beleza, o problema quer a “aproximação de quarta ordem” da função-periódica
f(x)= -1, & -pi<= x<0, ;;1, & 0<= x
Isso é clássico de Série de Fourier. A ideia é:
  1. reconhecer que é uma função ímpar (só vai ter senos na série);
  2. usar as fórmulas dos coeficientes para séries ímpares;
  3. pegar só até (quarta ordem) e montar a soma parcial.

Passo 2

Como f(x)sim sumn=1^infty bnsin(nx), , só tem termo de seno:
bn=1piintegral-pi^pif(t),sin(nt),dt
com
Na prática a gente separa em e .

Passo 3

Calculando
bn=1pil[integral-pi^0(-1)sin(nt),dt+integral0^pi(1)sin(nt),dtr]
e usando
bn=2l(1-(-1)^nr)pi,n= dfrac4pi n,&n ímpar,[1ex] 0,&n par ,
fica
í

Passo 4

A “quarta ordem” significa somar de S4(x)=sumn=1^4 bnsin(nx) até b1=4pi, b3=43pi, b2=b4=0 :
S4(x)=4pisin x+43pisin3x =4pil(sin x+tfrac13sin3xr)
Mas só e dão coeficiente não-nulo:
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Resposta

boxedS4(x)=4pil(sin x+tfrac13sin3xr)

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