Faça uma aproximação trigonométrica da seguinte função:
f(x)=|x2|, x in[-pi, pi], n=infty

Passo 1

Beleza, mano! O enunciado pede pra gente achar a aproximação trigonométrica (ou seja, a série de Fourier) da função
f(x)=l|tfracx2r|,, xin[-pi,pi], ntoinfty
O conteúdo aqui é Série de Fourier trigonométrica de uma função definida em . Vamos precisar:
  1. Entender que é par, então só teremos termos em cosseno;
  2. Calcular o termo médio e os coeficientes ;
  3. Montar a soma infinita.

Passo 2

Teoria rápida: uma função f(x)sim a02 + sumn=1^inftyl(ancos(nx)+bnsin(nx)r), periódica de período an = 1piintegral-pi^pif(x)cos(nx),dx, bn = 1piintegral-pi^pif(x)sin(nx),dx se escreve como
onde
Como é par, e podemos calcular só e .

Passo 3

Calcular a0 = 1piintegral-pi^pil|tfrac x2r|,dx = 2piintegral0^pitfrac x2,dx = 1pil[tfracx^22r]0^pi = 1picdotpi^22 = pi2 :
Logo o termo médio é .

Passo 4

Calcular an = 1piintegral-pi^pil|tfrac x2r|cos(nx),dx = 2piintegral0^pitfrac x2cos(nx),dx = 1piintegral0^pixcos(nx),dx para integral0^pi xcos(nx),dx = l[tfracxsin(nx)nr]0^pi - integral0^pi tfracsin(nx)n,dx = 0 - l[-tfraccos(nx)n^2r]0^pi = (-1)^n-1n^2 :
an = 1pi,(-1)^n-1n^2
Fazendo integração por partes:
an = -2pi n^2 = -2pi n^2
Então
Repara que se é par , dá zero; se é ímpar , dá

Passo 5

Juntando tudo, como só aparecem coeficientes para f(x)=pi4 + sumsubstackn=1n ímpar^infty l(-2pi n^2r)cos(nx) ímpar, a série fica
boxedf(x)=pi4;-;2pisumk=1^inftycosl((2k-1)xr)(2k-1)^2 í
Ou seja, escrevendo :

Resposta

l|tfrac x2r| =pi4 -2pisumk=1^inftycosl((2k-1)xr)(2k-1)^2

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