Faça uma aproximação trigonométrica da seguinte função:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para fazer uma “aproximação trigonométrica” de
usando até
.
Isso é basicamente calcular a série de Fourier truncada em 5 termos.
O que a gente precisa saber:
Isso é basicamente calcular a série de Fourier truncada em 5 termos.
O que a gente precisa saber:
- Que
é função ímpar, então só aparecem senos na série. - A fórmula do coeficiente de seno é
- Depois a gente faz a soma
Passo 2
Como
e
são ímpares, o produto é par. Então dá para escrever
Agora vamos calcular essa integral por partes.
Passo 3
Integral por partes: tome
Então
A gente já vê que:
e
Passo 4
Juntando tudo:
Então
Logo a série de Fourier (com infinitos termos) é
Passo 5
Para aproximar com
S5(x) =sumk=1^5 (-1)^k+1k,sin(kx) =sin(x) -tfrac12sin(2x) +tfrac13sin(3x) -tfrac14sin(4x) +tfrac15sin(5x) , a gente só pega os primeiros 5 termos:
Resposta
A aproximação trigonométrica de ordem 5 é