Faça uma aproximação trigonométrica da seguinte função:
f(x)=x2, x in[-pi, pi[, n=5

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para fazer uma “aproximação trigonométrica” de
f(x)=x2, xin[-pi,pi[
usando até bn = 1piintegral-pi^pi f(x),sin(nx),dx .
Isso é basicamente calcular a série de Fourier truncada em 5 termos.
O que a gente precisa saber:
  • Que S5(x)=sumk=1^5 bk,sin(kx) é função ímpar, então só aparecem senos na série.
  • A fórmula do coeficiente de seno é
  • Depois a gente faz a soma

Passo 2

Como bn =1piintegral-pi^pix2sin(nx),dx =2piintegral0^pix2sin(nx),dx =1piintegral0^pixsin(nx),dx e são ímpares, o produto é par. Então dá para escrever
Agora vamos calcular essa integral por partes.

Passo 3

Integral por partes: tome
u = x, dv=sin(nx),dx Longrightarrow du=dx, v=-cos(nx)n
Então
integral0^pi xsin(nx),dx = l[-xcos(nx)nr]0^pi + integral0^pi cos(nx)n,dx
A gente já vê que:
-xcos(nx)n|0^pi =-picos(npi)n =-pi(-1)^nn,
e
integral0^picos(nx)n,dx =1nl[sin(nx)nr]0^pi =1n^2l(sin(npi)-0r)=0

Passo 4

Juntando tudo:
integral0^pi xsin(nx),dx =-pi(-1)^nn
Então
bn =1pi,l(-pi(-1)^nnr) =-(-1)^nn =(-1)^n+1n
Logo a série de Fourier (com infinitos termos) é
f(x)=sumn=1^infty (-1)^n+1n,sin(nx)

Passo 5

Para aproximar com S5(x) =sumk=1^5 (-1)^k+1k,sin(kx) =sin(x) -tfrac12sin(2x) +tfrac13sin(3x) -tfrac14sin(4x) +tfrac15sin(5x) , a gente só pega os primeiros 5 termos:

Resposta

A aproximação trigonométrica de ordem 5 é
boxedS5(x) =sin(x) -12sin(2x) +13sin(3x) -14sin(4x) +15sin(5x)

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