3 Faça uma tabela para valores da função y(x)=e^x para x=0.1,0.3,0.5,0.9 e 1.6 com 4 dígitos. Aproxime o valor de e^0.6 utilizando os pontos mais próximos por meio do polinômio interpolador de Lagrange Ln de grau:
(a) n=1;
(b) n=2;
(c) n=3.

Passo 1

A questão pede para construir uma tabela de valores de nos pontos , , , e com quatro casas decimais e depois aproximar usando o polinômio interpolador de Lagrange de grau , e , tomando sempre os pontos mais próximos de . O conteúdo utilizado aqui é interpolação polinomial de Lagrange, que constrói
onde

Passo 2

Tabela de valores de e^x com quatro casas decimais:
c|ccccc x & 0,1 & 0,3 & 0,5 & 0,9 & 1,6 hline e^x & 1,1052 & 1,3499 & 1,6487 & 2,4600 & 4,9530

Passo 3

Grau n=1: escolhemos os dois pontos mais próximos de 0,6, que são x0=0,5 e x1=0,9.
O polinômio de Lagrange é
L1(x) = e^0,5,x-0,90,5-0,9 +e^0,9,x-0,50,9-0,5
Logo,
L1(0,6) =1,6487;0,6-0,9-0,4 +2,4600;0,6-0,50,4 =1,6487cdot0,75+2,4600cdot0,25 =1,8515

Passo 4

Grau n=2: usamos os três pontos x0=0,3, x1=0,5, x2=0,9.
Os fatores de base em x=0,6 valem
ell0(0,6)=(0,6-0,5)(0,6-0,9)(0,3-0,5)(0,3-0,9)=-0,25, ell1(0,6)=1,125, ell2(0,6)=0,125
Portanto
L2(0,6) =1,3499cdot(-0,25)+1,6487cdot1,125+2,4600cdot0,125 =1,8248

Passo 5

Grau n=3: usamos os quatro pontos x0=0,1, x1=0,3, x2=0,5, x3=0,9.
Calculamos em x=0,6:
ell0(0,6)=0,140625,; ell1(0,6)=-0,625,; ell2(0,6)=1,40625,; ell3(0,6)=0,078125
Então
L3(0,6) =1,1052cdot0,140625 +1,3499cdot(-0,625) +1,6487cdot1,40625 +2,4600cdot0,078125 =1,8224

Resposta

Tabela de valores:
c|ccccc x & 0,1 & 0,3 & 0,5 & 0,9 & 1,6 hline e^x & 1,1052 & 1,3499 & 1,6487 & 2,4600 & 4,9530
(a) L1(0,6)=1,8515
(b) L2(0,6)=1,8248
(c) L3(0,6)=1,8224

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