Tomando como modelo os Exemplos apresentados em sala de aula sobre o Método de Newton-Raphson - M.N.R. encontrar a raiz r das equações abaixo relacionadas e pertencentes aos intervalos e precisão (erro) também fixados:
Exercício 01:
1.1) Equação Rightarrow f(x)=2 cos x-ln x=0;
1.2) intervalo da raiz Rightarrow[1,2]
1.3) precisão/erro Rightarrow varepsilon <= 10^-3.

Passo 1

O enunciado pede para achar a raiz r da função
f(x) = 2cos x - ln x
no intervalo [1,2] com precisão varepsilon <= 10^-3, utilizando o Método de Newton–Raphson. Para isso vamos precisar de f'(x) e da fórmula iterativa
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)

Passo 2

Calculamos a derivada de f:
f'(x) = -2sin x - 1x
Logo a iteração de Newton–Raphson fica
xn+1 = xn - 2cos xn - ln xn-2sin xn - tfrac1xn

Passo 3

Escolhemos o palpite inicial x0 = 1,5.
Calculamos
f(1,5) = 2cos(1,5) - ln(1,5)approx -0,2640,
f'(1,5) = -2sin(1,5) - 11,5approx -2,6617
Então
x1 = 1,5 - -0,2640-2,6617 approx 1,4008

Passo 4

A partir de x1 obtemos
f(1,4008)approx 0,00328, f'(1,4008)approx -2,6848,
x2 = 1,4008 - 0,00328-2,6848 approx 1,4020

Passo 5

Como lvert x2 - x1rvert approx 0,0012>10^-3, fazemos mais uma iteração:
f(1,4020)approx -0,00188, f'(1,4020)approx -2,6844,
x3 = 1,4020 - -0,00188-2,6844 approx 1,4013
Agora lvert x3 - x2rvert approx 0,0007<10^-3, então satisfaz a precisão requerida.

Resposta

A raiz aproximada é
r approx 1,4013

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