1 Faça uma tabela para valores da função y(x)=sin (x) para x=0.3,0.4,0.5 e 0.6 radianos com 4 dígitos. Aproxime o valor de sin (0.33) por meio do polinômio interpolador de Lagrange Ln de grau:
(a) n=1 utilizando os pontos de abscissas 0.3 e 0.4 ;
(b) n=2 utilizando os pontos de abscissas 0.3,0.4 e 0.5 ;
(c) n=3 utilizando os quatro pontos.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas principais:
  1. Montar uma tabela com os valores de sin(x) para x=0,3,;0,4,;0,5,;0,6 radianos, aproximados com quatro dígitos decimais.
  2. Aproximar sin(0,33) usando o polinômio interpolador de Lagrange Ln de grau
    a) n=1 nos pontos x=0,3 e 0,4,
    b) n=2 nos pontos x=0,3,;0,4,;0,5,
    c) n=3 nos pontos x=0,3,;0,4,;0,5,;0,6.
    Vamos primeiro obter a tabela de valores e depois construir cada interpolador de Lagrange para avaliar em x=0,33.

Passo 2

Calculamos sin(x) com 4 dígitos decimais usando uma tabela ou calculadora:
  • sin(0,3)approx0,2955
  • sin(0,4)approx0,3894
  • sin(0,5)approx0,4794
  • sin(0,6)approx0,5650

Passo 3

Para n=1 (reta) usamos só (x0,y0)=(0,3,0,2955) e (x1,y1)=(0,4,0,3894).
O polinômio é
L1(x)=y0x-x1x0-x1+y1x-x0x1-x0
Em x=0,33:
0,33-0,40,3-0,4=0,7, 0,33-0,30,4-0,3=0,3,
L1(0,33)=0,2955cdot0,7+0,3894cdot0,3 =0,20685+0,11682=0,32367approx0,3237

Passo 4

Para usamos , , .
Os polinômios base em são
Então

Passo 5

Para n=3 usamos também (x3,y3)=(0,6,0,5650). Em x=0,33 obtemos os coeficientes
L0=0,5355, L1=0,6885, L2=-0,2835, L3=0,0595,
e assim
L3(0,33) =0,2955cdot0,5355+0,3894cdot0,6885+0,4794cdot(-0,2835)+0,5650cdot0,0595 approx0,32406approx0,3241

Resposta

(a) L1(0,33)approx0,3237
(b) L2(0,33)approx0,3242
(c) L3(0,33)approx0,3241

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