Tomando como modelo os Exemplos apresentados em sala de aula sobre o Método de Newton-Raphson - M.N.R. encontrar a raiz r das equações abaixo relacionadas e pertencentes aos intervalos e precisão (erro) também fixados:
Exercício 02:
2.1) Equação Rightarrow f(x)=2 x^2+sen x-10=0;
2.2) intervalo da raiz Rightarrow[3 / 2,7 / 2];
2.3) precisão/erro Rightarrow varepsilon <= 10^-3.

Passo 1

O enunciado pede para usar o Método de Newton–Raphson para achar a raiz
r da equação
f(x)=2x^2+sin(x)-10=0
no intervalo l[3/2,,7/2r] com precisão varepsilon<=10^-3.
O conteúdo necessário é: a definição de f'(x) e a fórmula iterativa
xn+1=xn-f(xn)f'(xn)

Passo 2

Começamos encontrando a derivada
f'(x)=ddxl(2x^2+sin(x)-10r)=4x+cos(x),
e adotamos como chute inicial x0 o ponto médio do intervalo:
x0=3/2+7/22=2,5

Passo 3

Calculamos a primeira iteração:
f(x0)=2(2,5)^2+sin(2,5)-10=12,5+0,5985-10=3,0985,
f'(x0)=4cdot2,5+cos(2,5)=10-0,8011=9,1989,
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x1=2,5-3,09859,1989=2,1631

Passo 4

Segunda iteração:
f(x1)=2(2,1631)^2+sin(2,1631)-10=9,3596+0,8312-10=0,1908,
f'(x1)=4cdot2,1631+cos(2,1631)=8,6524-0,5568=8,0956,
x2=2,1631-0,19088,0956=2,1395

Passo 5

Terceira iteração e verificação do critério de parada:
f(x2)=2(2,1395)^2+sin(2,1395)-10=9,1568+0,8442-10=0,0010,
f'(x2)=4cdot2,1395+cos(2,1395)=8,5580-0,5374=8,0206,
x3=2,1395-0,00108,0206=2,1394
A diferença lvert x3-x2rvert=0,0001<10^-3, então atingimos a precisão desejada.

Resposta

A raiz aproximada é
rapprox2,1394

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