(Fatec-SP) Sendo A uma matriz quadrada, define-se A^{n}=A \cdot A \ldots A. No caso de A ser a matriz
A=\left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right]
é correto afirmar que a soma A+A^{2}+A^{3}+A^{4}+\ldots+A^{39}+A^{40} é igual à matriz:
(a) \left[\begin{array}{ll}20 & 20 \\\\ 20 & 20\end{array}\right]
(b) \left[\begin{array}{cc}20 & 0 \\\\ 0 & 20\end{array}\right]
(c) \left[\begin{array}{ll}40 & 40 \\\\ 40 & 40\end{array}\right]
(d) \left[\begin{array}{cc}0 & 40 \\\\ 40 & 0\end{array}\right]
(e) \left[\begin{array}{cc}0 & 20 \\\\ 20 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix}0 & 1 \\\\ 1 & 0\end{pmatrix}
e pede a soma
S = A + A^{2} + A^{3} + \cdots + A^{40}.
O conteúdo é potência de matriz e soma de matrizes; vamos usar que A^{2} se comporta como matriz identidade, gerando um padrão para A^{n}.

Passo 2

Calcular A^{2}:
A^{2} = A \cdot A = \begin{pmatrix}0 & 1 \\\\ 1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 1 \\\\ 1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix} = I.

Passo 3

Como A^{2}=I, para n par temos
A^{n} = (A^{2})^{n/2} = I,
e para n ímpar
A^{n} = A \cdot A^{n-1} = A \cdot I = A.

Passo 4

Entre 1 e 40 20 números pares ( 2,4,\dots,40) e 20 ímpares ( 1,3,\dots,39).
Logo
\sum_{\substack{n=1 \\\ n\text{ ímpar}}}^{40} A^{n} = 20\,A, \qquad \sum_{\substack{n=1 \\\ n\text{ par}}}^{40} A^{n} = 20\,I.í

Passo 5

Somando as duas parcelas:
S = 20\,I + 20\,A = 20 \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix} + 20 \begin{pmatrix}0 & 1 \\\\ 1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}20 & 20 \\\\ 20 & 20\end{pmatrix}.

Resposta

(a) \displaystyle \begin{pmatrix}20 & 20 \\\\ 20 & 20\end{pmatrix}

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