(ITA-SP) Considere as matrizes
A=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\\\ 0 & -1 & 2 \end{array}\right], \quad I=\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right], \quad X=\left[\begin{array}{l} x \\\ y \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 2 \end{array}\right] .
Se x e y são soluções do sistema \left(A A^{t}-3 I\right) X=B, então x+y é igual a:
(a) 2
(b) 1
(c) 0
(d) -1
(e) -2

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A=\begin{pmatrix}1 & 0 & -1\\\ 0 & -1 & 2\end{pmatrix},\quad I=\begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix},\quad X=\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix}
e pede para resolver o sistema
\bigl(A\,A^{t}-3I\bigr)\,X = B.
O conteúdo envolve multiplicação de matrizes, uso de transposta e solução de sistema linear 2\times 2.

Passo 2

Vamos calcular A\,A^{t}. Como A é 2\times3, o produto A\,A^{t} será 2\times2 e cada entrada é produto escalar de linhas de A:
A\,A^{t} =\begin{pmatrix} 1\cdot1+0\cdot0+(-1)\cdot(-1) & 1\cdot0+0\cdot(-1)+(-1)\cdot2\\[6pt] 0\cdot1+(-1)\cdot0+2\cdot(-1) & 0\cdot0+(-1)\cdot(-1)+2\cdot2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2 & -2\\\ -2 & 5\end{pmatrix}.]

Passo 3

Subtraindo 3I de A\,A^{t}, obtemos a matriz dos coeficientes:
A\,A^{t}-3I =\begin{pmatrix}2 & -2\\\ -2 & 5\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}3 & 0\\\ 0 & 3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1 & -2\\\ -2 & 2\end{pmatrix}.

Passo 4

O sistema \bigl(A\,A^{t}-3I\bigr)X=B\) vira \[\begin{cases} -1\cdot x \;-\;2\cdot y = 1,\\\\ -2\cdot x \;+\;2\cdot y = 2. \end{cases}
Da segunda equação temos
-2x+2y=2\;\Longrightarrow\;-x+y=1\;\Longrightarrow\;y=x+1.
Substituindo em (-x-2y=1]:
-x-2(x+1)=1 \;\Longrightarrow\;-x-2x-2=1 \;\Longrightarrow\;-3x=3 \;\Longrightarrow\;x=-1,
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y=x+1=-1+1=0.

Passo 5

Portanto
x+y = -1+0 = -1.

Resposta

(d) -1

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