(FEl-SP) Sejam as matrizes:
A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\\\ 4 & -1 & 3 \\\\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{ccc} 4 & 3 & 5 \\\\ 1 & 0 & 0 \end{array}\right), \quad C^{t}=\left(\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\\\ 0 & -1 & 1 \end{array}\right)
A matriz X=A \cdot C+2 B^{t} é tal que:
(a) X=\left(\begin{array}{cc}12 & 4 \\\\ 15 & 3 \\\\ 10 & -1\end{array}\right)
(b) X=\left(\begin{array}{cc}4 & 2 \\\\ 10 & 4 \\\\ 3 & 1\end{array}\right)
(c) X=\left(\begin{array}{cc}8 & 1 \\\\ 2 & 4 \\\\ -1 & 5\end{array}\right)
(d) X=\left(\begin{array}{ll}12 & 4 \\\\ 16 & 4 \\\\ 13 & 1\end{array}\right)
(e) Não é possível calcular X.

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\\\ 4 & -1 & 3\\\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix} 4 & 3 & 5\\\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix},\quad C^t=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\\\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}
e pede X = A\cdot C + 2\,B^t. Para resolver, precisamos (i) obter C a partir de C^t, (ii) calcular A\cdot C, (iii) transpor B, multiplicar por 2 e (iv) somar as matrizes resultantes.

Passo 2

Como C^t é 2\times3, C será a sua transposta 3\times2:
C = (C^t)^t = \begin{pmatrix} 2 & 0\\\\ 1 & -1\\\\ 1 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora calculamos o produto A\cdot C. Usando a definição de multiplicação de matrizes, obtemos
A\cdot C = \begin{pmatrix} 1\cdot2 + 0\cdot1 + 2\cdot1 & 1\cdot0 + 0\cdot(-1) + 2\cdot1\\\\ 4\cdot2 + (-1)\cdot1 + 3\cdot1 & 4\cdot0 + (-1)\cdot(-1) + 3\cdot1\\\\ 1\cdot2 + 0\cdot1 + 1\cdot1 & 1\cdot0 + 0\cdot(-1) + 1\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 2\\\\ 10 & 4\\\\ 3 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Em seguida, obtemos B^t (que será 3\times2) e calculamos 2\,B^t:
B^t = \begin{pmatrix} 4 & 1\\\\ 3 & 0\\\\ 5 & 0 \end{pmatrix}, \quad 2\,B^t = \begin{pmatrix} 8 & 2\\\\ 6 & 0\\\\ 10 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 5

Somamos as matrizes de mesmo tamanho:
X = A\cdot C + 2\,B^t = \begin{pmatrix} 4 & 2\\\\ 10 & 4\\\\ 3 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 8 & 2\\\\ 6 & 0\\\\ 10 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 & 4\\\\ 16 & 4\\\\ 13 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 6

Comparando com as alternativas, vemos que
X = \begin{pmatrix} 12 & 4\\\\ 16 & 4\\\\ 13 & 1 \end{pmatrix}
corresponde à opção (d).

Resposta

(d)

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