(FEl-SP) Sejam as matrizes: A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\\\ 4 & -1 & 3 \\\\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{ccc} 4 & 3 & 5 \\\\ 1 & 0 & 0 \end{array}\right), \quad C^{t}=\left(\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\\\ 0 & -1 & 1 \end{array}\right) A matriz X=A \cdot C+2 B^{t} é tal que: (a) X=\left(\begin{array}{cc}12 & 4 \\\\ 15 & 3 \\\\ 10 & -1\end{array}\right) (b) X=\left(\begin{array}{cc}4 & 2 \\\\ 10 & 4 \\\\ 3 & 1\end{array}\right) (c) X=\left(\begin{array}{cc}8 & 1 \\\\ 2 & 4 \\\\ -1 & 5\end{array}\right) (d) X=\left(\begin{array}{ll}12 & 4 \\\\ 16 & 4 \\\\ 13 & 1\end{array}\right) (e) Não é possível calcular X. Passo 1O enunciado dá as matrizes A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\\\ 4 & -1 & 3\\\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix} 4 & 3 & 5\\\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix},\quad C^t=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\\\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} e pede X = A\cdot C + 2\,B^t. Para resolver, precisamos (i) obter C a partir de C^t, (ii) calcular A\cdot C, (iii) transpor B, multiplicar por 2 e (iv) somar as matrizes resultantes. Passo 2Como C^t é 2\times3, C será a sua transposta 3\times2: C = (C^t)^t = \begin{pmatrix} 2 & 0\\\\ 1 & -1\\\\ 1 & 1 \end{pmatrix}. Passo 3Agora calculamos o produto A\cdot C. Usando a definição de multiplicação de matrizes, obtemos A\cdot C = \begin{pmatrix} 1\cdot2 + 0\cdot1 + 2\cdot1 & 1\cdot0 + 0\cdot(-1) + 2\cdot1\\\\ 4\cdot2 + (-1)\cdot1 + 3\cdot1 & 4\cdot0 + (-1)\cdot(-1) + 3\cdot1\\\\ 1\cdot2 + 0\cdot1 + 1\cdot1 & 1\cdot0 + 0\cdot(-1) + 1\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 2\\\\ 10 & 4\\\\ 3 & 1 \end{pmatrix}. Passo 4Em seguida, obtemos B^t (que será 3\times2) e calculamos 2\,B^t: B^t = \begin{pmatrix} 4 & 1\\\\ 3 & 0\\\\ 5 & 0 \end{pmatrix}, \quad 2\,B^t = \begin{pmatrix} 8 & 2\\\\ 6 & 0\\\\ 10 & 0 \end{pmatrix}. Passo 5Somamos as matrizes de mesmo tamanho: X = A\cdot C + 2\,B^t = \begin{pmatrix} 4 & 2\\\\ 10 & 4\\\\ 3 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 8 & 2\\\\ 6 & 0\\\\ 10 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 & 4\\\\ 16 & 4\\\\ 13 & 1 \end{pmatrix}. Passo 6Comparando com as alternativas, vemos que X = \begin{pmatrix} 12 & 4\\\\ 16 & 4\\\\ 13 & 1 \end{pmatrix} corresponde à opção (d). Resposta(d) MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionados(UF-AM) Para qual valor positivo de x, a matriz real A=\left(\begin{array}{cc} e^{x^{2}+2 x} & x^{2}+1 \\\\ 5 & \log _{4}\left(x^{2}+6\right) \end{array}\right) é simétrica? (a) -5 (b) 9 (c) 1 (d) 4 (e) 2 (ITA-SP) Seja n um número natural. Sabendo que o determinante da matriz A=\left[\begin{array}{ccc} n & \log _{2} 2 & -\log _{2} \frac{1}{2} \\\ n+5 & \log _{3} 3^{n} & \log _{3} 243 \\\\ -5 & \log _{5} \frac{1}{125} & -\log _{5} 25 \end{array}\right] é igual a 9 , determine n e também a soma dos elementos da primeira coluna da matriz inversa A^{-1}. (Fatec-SP) Sendo A uma matriz quadrada, define-se A^{n}=A \cdot A \ldots A. No caso de A ser a matriz A=\left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right] é correto afirmar que a soma A+A^{2}+A^{3}+A^{4}+\ldots+A^{39}+A^{40} é igual à matriz: (a) \left[\begin{array}{ll}20 & 20 \\\\ 20 & 20\end{array}\right] (b) \left[\begin{array}{cc}20 & 0 \\\\ 0 & 20\end{array}\right] (c) \left[\begin{array}{ll}40 & 40 \\\\ 40 & 40\end{array}\right] (d) \left[\begin{array}{cc}0 & 40 \\\\ 40 & 0\end{array}\right] (e) \left[\begin{array}{cc}0 & 20 \\\\ 20 & 0\end{array}\right] (ITA-SP) Considere as matrizes A=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\\\ 0 & -1 & 2 \end{array}\right], \quad I=\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right], \quad X=\left[\begin{array}{l} x \\\ y \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 2 \end{array}\right] . Se x e y são soluções do sistema \left(A A^{t}-3 I\right) X=B, então x+y é igual a: (a) 2 (b) 1 (c) 0 (d) -1 (e) -2