Fatorar as seguintes expressões em R :
a^4+a^2+14

Passo 1

O exercício pede para fatorar, em ℝ, a expressão
.
Isso faz parte de “fatoração de polinômios” e, aqui, vamos usar a ideia de reconhecer um quadrado perfeito ou completar o quadrado para resolver.

Passo 2

Primeiro, note que a expressão é um polinômio de grau 4 em x^2 + x + tfrac14, . Uma técnica útil é chamar .
Então a expressão fica
onde .

Passo 3

Agora olhe para l(x + cr)^2 = x^2 + 2cx + c^2 . Lembra de “completar o quadrado”?
Um quadrado perfeito em x^2 + x + tfrac14 = l(x + tfrac12r)^2 é
Queremos encaixar nesse formato. Repare que, se , então . E .
Ou seja

Passo 4

Voltando de x + tfrac12 = a^2 + tfrac12 para a^4 + a^2 + tfrac14 = l(a^2 + tfrac12r)^2 , como , substituímos:
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Passo 5

Verifique: o quadrado de realmente expande para .
Como não se decompõe em fatores lineares reais (suas “raízes” seriam imaginárias), a fatoração em ℝ está completa.

Resposta

boxeda^4 + a^2 + tfrac14 = l(a^2 + tfrac12r)^2

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