Fatorar as seguintes expressões em
:
Passo 1
O exercício pede para fatorar, em ℝ, a expressão
.
Isso faz parte de “fatoração de polinômios” e, aqui, vamos usar a ideia de reconhecer um quadrado perfeito ou completar o quadrado para resolver.
Isso faz parte de “fatoração de polinômios” e, aqui, vamos usar a ideia de reconhecer um quadrado perfeito ou completar o quadrado para resolver.
Passo 2
Primeiro, note que a expressão é um polinômio de grau 4 em
. Uma técnica útil é chamar
.
Então a expressão fica
Então a expressão fica
onde
.
Passo 3
Agora olhe para
. Lembra de “completar o quadrado”?
Um quadrado perfeito em é
Um quadrado perfeito em
Queremos encaixar
nesse formato. Repare que, se
, então
. E
.
Ou seja
Ou seja
Passo 4
Voltando de
para
, como
, substituímos:
Logo
Passo 5
Verifique: o quadrado de
realmente expande para
.
Como não se decompõe em fatores lineares reais (suas “raízes” seriam imaginárias), a fatoração em ℝ está completa.
Como