Fatore os polinômios usando o algoritmo de Briot-Ruffini.
2 x^3-3 x^2+4 x-6, sabendo que x=32 é uma raiz deste polinômio.

Passo 1

Beleza, aqui a questão pede pra gente “fatorar” o polinômio
2x^3 - 3x^2 + 4x - 6
sabendo que é uma raiz.
Conteúdo: fatoração usando o método de Briot-Ruffini (também chamado divisão sintética).
O que vamos precisar:
  • Entender que, se é raiz, o polinômio é divisível por .
  • Aplicar Briot-Ruffini para dividir pelo binômio .
  • Depois fatorar o polinômio resultante, se der.

Passo 2

Vamos usar Briot-Ruffini passo a passo. A ideia é dividir o polinômio original por 2x^3 - 3x^2 + 4x - 6 = (x - tfrac32) ;l(2x^2 + 0cdot x + 4r) , onde .
  1. Escreve os coeficientes em linha:
    2 \quad \quad 4 \quad
  2. Coloca na “borda” e traz o 2 lá de cima direto para baixo:
    Coeficientes iniciais:
    2 | -3 | 4 | -6
    Raiz:
    • Passo A: “Desce” o 2
      2
    • Passo B: Multiplica esse 2 por :
    • Passo C: Soma ao próximo coeficiente .
    • Passo D: Agora multiplica o resultado (0) por :
    • Passo E: Soma ao próximo coeficiente .
    • Passo F: Multiplica por :
    • Passo G: Soma ao último coeficiente .
No fim, a última soma sendo zero confirma que é raiz mesmo (resto zero).
Os números que ficarem em baixo (exceto o zero final) são os coeficientes do polinômio de grau 2 que sobrou:
2 | 0 | 4
Isso significa que

Passo 3

Agora, só falta fatorar 2x^2 + 4 = 2,(x^2 + 2) . A gente vê que tem fator comum 2:
E não fatora mais em reais (as raízes são imaginárias).

Resposta

Juntando tudo, a fatoração é
boxed2x^3 - 3x^2 + 4x - 6 = (x - tfrac32) cdot 2,(x^2 + 2) = (2x - 3),(x^2 + 2)

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