Obtenha uma aproximação para cada uma das seguintes integrais utilizando a Regra do Trapézio Composta e as Regras 1 / 3 e 3 / 8 de Simpson Compostas com precisão de 10^-7.
integral-0,5^0,5 x ln (x+1) d x

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra aproximar
I=integral-0.5^0.5 xln(1+x),dx
usando três métodos compostos:
  1. Regra do Trapézio
  2. Regra de Simpson I=;0.5 - 0.375,ln3;approx;0,0880203923
  3. Regra de Simpson
    com tolerância .
    O que a gente vai precisar:
  • As fórmulas gerais de cada regra composta,
  • Um estimador de erro (pelo teorema de Taylor) pra saber quantos subintervalos usar,
  • E no final usar o valor analítico (ou uma avaliação de alta precisão)
como “verdade” pra comparar.

Passo 2

Regra do Trapézio Composta
  1. Fórmula composta com Tn ;=;h2l(f(a)+2sumi=1^n-1f(a+i,h)+f(b)r) subintervalos de tamanho l|ETr|<=b-a12,h^2maxxin[a,b]l|f''(x)r| :
f(x)=xln(1+x), f''(x)=x+2(1+x)^2,
  1. Erro conhecido (pela expansão de Taylor)
|ET|<=112,h^2,(6)=h^22 ;<;10^-7 Longrightarrow h^2<2cdot10^-7 ;Longrightarrow; h<4,47times10^-4
  1. No nosso caso
n>14,47times10^-4approx2237
e em T2240 o máximo de T2240approx0,08802039, acontece em e vale .
Logo
Como , basta ter
Ou seja, escolhemos (ou ) e, ao calcular
obtemos
com erro abaixo de .

Passo 3

Regra de Simpson Sn=h3l(f(a)+4sumi ímparf(a+i,h) +2sumi par,,ineq0,nf(a+i,h)+f(b)r) Composta
  1. Fórmula composta (para |ES|<=b-a180,h^4maxxin[a,b]l|f^(4)(x)r| par):
f^(4)(x)=2(x+4)(1+x)^4, í
  1. Erro pelo teorema de Taylor:
|ES|<=1180,h^4,(112)approx0,6222,h^4<10^-7
  1. Já calculamos
Longrightarrow h^4<1,6times10^-7 Longrightarrow h<0,020
e em n>10.020=50 o máximo vale cerca de S50approx0,08802039 .
Logo
Como e tem que ser par,
Escolhemos . Calculando
atingimos a precisão .

Passo 4

Regra de Simpson Cn=3h8l[ f(a)+3!!sumiequiv1,2;(bmod3)!f(a+i,h) +2!!sumiequiv0;(bmod3),,ineq0,n!f(a+i,h) +f(b)r] Composta
  1. Fórmula composta quando |E3/8|<=b-a80,h^4max|f^(4)(x)| approx180,h^4,(112)=1,4,h^4<10^-7 é múltiplo de 3:
Longrightarrow;h^4<7,14times10^-8 ;Longrightarrow;h<0,0163,
  1. Erro também n>10.0163approx61,4, :
C63approx0,08802039,
escolhemos o múltiplo de 3 mais próximo, . Então
com erro ainda menor que .

Resposta

Usando tolerância T2240approx0,08802039 , obtemos:
– Trapézio composto com S50approx0,08802039 :
C63approx0,08802039
– Simpson composto com :
– Simpson composto com :

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